1、高一数学暑假作业一、单选题1. 在空间中，下列结论正确的是()A. 三角形确定一个平面B. 四边形确定一个平面C. 一个点和一条直线确定一个平面D. 两条直线确定一个平面2. 在复平面内，复数z=-2+i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量a=(1,2),b=(x,4)，且ab，则实数x的值是()A. -2B. 2C. 8D. -84. 已知一组数据为4，5，6，7，8，8，第40百分位数是()A. 8B. 7C. 6D. 55. 在ABC中，B=60，b2=ac，则cosA=()A. 0B. 12C. 22D. 326. 如图所示，为了测量山
2、高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角MAN=60，C点的仰角CAB=45，MAC=75，从C点测得MCA=60.已知山高BC=500m，则山高MN(单位：m)为()A. 750B. 7503C. 850D. 85037. 如图所示，在三棱台ABC-ABC中，沿ABC截去三棱锥A-ABC，则剩余的部分是()A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体8. 已知ABC中，AB=2，AC=1，ABAC=1，O为ABC所在平面内一点，且满足OA+2OB+3OC=0，则AOBC的值为()A. -4B. -1C. 1D. 49. 某圆锥母线长为2，底面半径为3，则过该圆锥
3、顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A. 2B. 3C. 2D. 1二、多选题10. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()A. i+i2+i3+i4=0B. 复数z=3-i的虚部为-iC. 若z=(1+2i)2，则复平面内z-对应的点位于第二象限D. 已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线11. 下面关于空间几何体叙述不正确的是()A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥B. 棱柱的侧面都是平行四边形C. 直平行六面体是长方体D. 直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥三、填空题12. 复数2i1-i=_13. 某企业有甲、乙两个研
4、发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为_14. 已知向量a=(1,2)，|b|=25，a/b，且a与b方向相同，那么b=_15. 如图，OAB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的周长为_ 16. 若球的半径为2，则与球心距离为3的平面截球所得的圆面面积为_ 17. 已知ABC中角A，B，C所对的边分别为a,b,c,sinAsinB=1+cosA2-cosB,cosA=35,SABC=6，则a=_18. 如图，若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所
5、成的角的大小是(1)；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是(2)四、解答题19. 已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i，当实数m取什么值时，复数z是：(1)零；(2)纯虚数；(3)z=2+5i20. 已知|a|=2，|b|=3，(2a-3b)(2a+b)=-7(1)求|a+b|；(2)求向量a与a+b的夹角的余弦值21. 某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照0,20，(20,40，(40,60，(60,80，(80,100分组，绘成频率分布直方图(如图)()求x的值；()分别求出抽取的20人中得分落在组0,20和(20,40内的人数；
6、()估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数22. ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinC=33ccosA(1)求A的值；(2)若a=5，求2b-3c的取值范围23. 某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区中抽出6个社区进行调查已知A，B，C行政区中分别有12，18，6个社区()求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；()若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率答案和解析1.【答案】A【解析】解：对于选项A：三角形的三角不共线，所以不共线的三点确定的平面有且只有一个
7、，故正确对于选项B：四边形的对边不平行，确定的平面可能有四个，故错误对于选项C：只有当点不在直线上时，才能确定一个平面，故错误对于选项D：两条直线平行或相交时，确定的平面有且只有一个，故错误故选：A直接利用平面的性质的应用求出结果本题考查的知识要点：平面的性质的应用，主要考查学生对定义的理解，属于基础题型2.【答案】B【解析】解：复数z=-2+i对应的点的坐标为(-2,1)，位于第二象限故选：B直接由已知复数得到对应点的坐标得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题3.【答案】D【解析】解：向量a=(1,2),b=(x,4)，且ab，x+24=0，解
8、得x=-8故选：D由题意可得x+24=0，解之即可本题考查向量的垂直，转化为向量的数量积为0是解决问题的关键，属基础题4.【答案】C【解析】解：因为数据共有6个，所以640%=2.4，所以第40百分位数是6故选：C直接利用百分位数的定义求解即可本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，属于基础题5.【答案】B【解析】【分析】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题由余弦定理且B=60得b2=a2+c2-ac，再由b2=ac，得a2+c2-ac=ac，得a=c，得A=B=C=60，可求cosA的值【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，
9、又b2=ac，a2+c2-ac=ac，(a-c)2=0，a=c，A=B=C=60，cosA=12故选：B6.【答案】A【解析】解：在RtABC中，CAB=45，BC=500m，所以AC=5002m；在AMC中，MAC=75，MCA=60，从而AMC=45，由正弦定理得，ACsin45=AMsin60，因此AM=50023222=5003m；在RtMNA中，AM=5003m，MAN=60，由MNAM=sin60，得MN=500332=750m故选：A利用直角三角形求出AC，由正弦定理求出AM，再利用直角三角形求出MN的值本题主要考查了正弦定理的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题7.【
10、答案】B【解析】解：如图所示，三棱台ABC-ABC中，沿ABC截去三棱锥A-ABC，剩余部分是四棱锥A-BCCB故选：B画出图形，根据图形和四棱锥的结构特征，即可得出剩余几何体是什么图形本题考查了空间几何体结构特征的应用问题，是基础题目8.【答案】B【解析】解：ABC中，AB=2，AC=1，ABAC=1，O为ABC所在平面内一点，且满足OA+2OB+3OC=0，设AC的中点为M，BC的中点为N，则OA+OC=2OM，OB+OC=2ON，OM+2ON=O，O为线段MN的靠近N的三等分点，AOBC=(AM+MO)(AC-AB)=(12AC+2312AB)(AC-AB)=12AC2-13AB2-16
11、ACAB=12-43-16=-1，故选：B分别令AC，BC的中点为M，N，则可化简式子得OM+2ON=O，于是O为线段MN的靠近N的三等分点，再计算数量积即可得出结论本题考查了平面向量的数量积运算，确定O点位置是解题关键，属于中档题9.【答案】A【解析】解：如图所示，截面为SMN，P为MN的中点，设OP=x(0x3)，SB=2,OB=3，所以SO=1，SP=x2+1,MN=23-x2，故SSMN=12MNSP=12x2+123-x2=-(x2-1)2+4，所以当x=1时，SSMN=2，此时的截面面积最大故选：A截面为SMN，P为MN的中点，设OP=x(00)，又|b|=25，2+42=20，且
12、0，解得=2，b=(2,4)故答案为：(2,4)根据a与b方向相同可设b=(,2)，(0)，从而可得出2+42=20，解出即可得出向量b的坐标本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题15.【答案】10+213【解析】解：把OAB的直观图还原出原平面图形OAB，如图所示：根据直观图的画法规则知，OA=2OA=6，OB=OB=4，所以AB=62+42=213，所以OAB的周长为OA+OB+AB=6+4+213=10+213故答案为：10+213把OAB的直观图还原出原平面图形OAB，根据直观图的画法规则求出OA、OB，利用勾股定理求
13、出AB的值本题考查了平面图形的直观图与原平面图形之间的关系应用问题，是基础题16.【答案】【解析】解：根据题意，截球所得圆的半径r=4-3=1，截球所得圆的面积为：故答案为：可求出截球所得圆的半径，然后即可求出截球所得圆的面积本题考查了球心和截球所得圆的圆心的连线和球截面垂直，圆的面积公式，考查了计算能力，属于基础题17.【答案】4【解析】解：sinAsinB=1+cosA2-cosB,cosA=35,SABC=6，2sinA-sinAcosB=sinB+sinBcosA，可得：2sinA=sinB+sinBcosA+sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinC，由正弦定理
14、可得：2a=b+c，sinA=1-cos2A=45，6=12bcsinA=12bc45，可得：bc=15，cosA=35=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=4a2-30-a230，可得：a2=16，解得：a=4(负值舍去)故答案为：4利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinA=sinB+sinC，由正弦定理可得2a=b+c，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解得a的值本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算
15、能力和转化思想，属于中档题18.【答案】6045【解析】解：如图，连接A1C1，AA1/CC1，AA1=CC1，四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1/AC，异面直线AC与A1B所成的角即为BA1C1，连接BC1，则BA1C1为等边三角形，异面直线AC与A1B所成的角的大小是60；正方体ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1底面ABCD，A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，大小为45故答案为：60；45连接A1C1，证明四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1/AC，得到异面直线AC与A1B所成的角即为BA1C1，再说明BA1C1为等边三角形，可得异面直线AC与A1B所成的角
16、的大小是60；由正方体的结构特征可得A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，再由等腰直角三角形得答案本题考查异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题19.【答案】解：(1)当且仅当m(m-1)=0m2+2m-3=0 解得m=1，即m=1时，复数z=0(2)当且仅当m(m-1)=0m2+2m-30 解得m=0，即m=0时，复数z=-3i为纯虚数(3)当且仅当m(m-1)=2m2+2m-3=5 解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i综上可知：当m=1时，复数z=0；当m=0时，复数z为纯虚数-3i；当m=2时，复数z=2+5i【解析】对于复数z=a
17、+bi(a,bR)，(1)当且仅当a=b=0时，复数z=0；(2)当且仅当a=0，b0时，复数z是纯虚数；(3)当且仅当a=2，b=5时，复数z=2+5i本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键20.【答案】解：(1)|a|=2，|b|=3，(2a-3b)(2a+b)=422-332-4ab=-7，ab=-1，|a+b|=(a+b)2=22+32+2ab=13+223(-1)=1；(2)设a与a+b夹角，cos=a(a+b)|a|a+b|=22-121=32【解析】(1)由(2a-3b)(2a+b)=-7可得ab的值，然后|a+b|转化为(a+b)2可求得|a+b|；(2
18、)设a与a+b夹角，根据cos=a(a+b)|a|a+b|可求夹角余弦值本题考查平面向量数量积性质，考查数学运算能力，属于基础题21.【答案】解：()由频率分布直方图的性质得：(0.0050+0.0075+0.0125+0.0150)20=1，解得x=0.0100()由频率分布直方图能求出：得分落在0,20内的人数为：200.005020=2，得分落在(20,40内的人数为：200.007520=3()估计所有参赛选手得分的平均数为：0.00502010+0.00752030+0.01502050+0.01252070+0.01002090=56设所有的参赛选手得分的中位数为a，则0.0050
19、20+0.007520+0.0150(a-40)=0.5，解得a56.67所有参赛选手得分的众数近似为：40+602=50【解析】()由频率分布直方图的性质能求出x()由频率分布直方图的性质能求出得分落在0,20内的人数和得分落在(20,40内的人数()由频率分布直方图的性质得能估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和所有参赛选手得分的众数本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考査互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22.【答案】解：(1)因为asinC=33ccosA，所以sinAsinC=33sinCcosA又sinC0，所以sinA=3
20、3cosA，即tanA=33又A(0,)，所以A=6(2)因为a=5，所以asinA=bsinB=csinC=10，所以2b-3c=20sinB-103sinC=20sin(6+C)-103sinC=10cosC由题可知，C(0,56)，则10cosC(-53,10)，故2b-3c的取值范围是(-53,10)【解析】(1)由已知结合正弦定理可求sinA，然后结合同角基本关系可求；(2)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦函数性质可求本题主要考查了正弦定理，同角基本关系，和差角公式及余弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题23.【答案】解：()社区总数为12+18+6=36
21、，样本容量与总体中的个体数比为636=16所以从A，B，C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1.()设A1，A2为在A行政区中抽得的2个社区，B1，B2，B3为在B行政区中抽得的3个社区，C为在C行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C)，(B2,B3)，(B2,C)，(B3,C)共有15种设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X，则事件X所包含的所有可能的结果有：(
22、A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C)，共有9种，所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为P(X)=915=35【解析】(I)先计算A，B，C区中社区数的总数，进而求出抽样比，再根据抽样比计算各区应抽取的社区数(II)本题为古典概型，先将各区所抽取的社区用字母表达，分别计算从抽取的6个社区中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力24.【答案】证明：()E、F分别是棱PD、CD的中点，EF/PC，EF平面PAC，PC平面PAC，EF/平面PAC()四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，BDAC，BDPA，ACPA=A，BD平面PAC，BDPC，EF/PC，EFBD【解析】()由E、F分别是棱PD、CD的中点，得EF/PC，由此能证明EF/平面PAC()推导出BDAC，BDPA，从而BD平面PAC，再由EF/PC，能证明EFBD本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题