1、数学试卷一、填空题（每题4分，共40分）1. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：，故选:C.【点睛】本题考查了诱导公式，属于基础题.2. 与的等差中项为( )A. 7B. 14C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等差中项的定义直接求解【详解】与的等差中项为【点睛】本题考查等差中项求法，属基础题.3. 关于的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解，结合二次函数的图像性质，即可选出正确答案.【详解】解：解得，或，由图像开口向上可知，的解集为，故选: B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，属
2、于基础题.4. 已知等比数列中，是方程两个实根，则（ ）A. 4B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】应用韦达定理，然后根据等比数列性质计算【详解】是方程两个实根，又是等比数列，故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题5. 在中，且的面积为，则的长为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三角形面积求得，再由余弦定理可求得【详解】由题意，由余弦定理是，故选：D【点睛】本题考查三角形面积公式和余弦定理，正弦定理和余弦定理是解三角形的两个基本定理，根据条件选择相应的公式是解题的基础6. 若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
3、分析】代入特殊值进行检验，结合不等式的性质可选出正确答案.【详解】解：由不等式的性质可知，A正确；若，则，B不正确；若，则，C不正确；若，D不正确，故选:A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.7. 已知数列中，（），那么等于（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据，计算数列的前几项，得到数列是以3为周期的数列求解.【详解】因为，所以，所以数列是以3为周期的数列，所以，故选：B【点睛】本题主要考查数列的周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8. 在ABC中，若，则C( )A. 45B. 30C. 60D. 120【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理
4、，可以求出角的余弦值，进而根据为三角形内角，解三角方程可以求出角【详解】，.又为三角形内角. 故选B【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题9. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向左平移个长度单位【答案】D【解析】本试题主要是考查了三角函数的图像的变换的运用因为为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个长度单位可以推出得到结论，选D.解决该试题的关键是理解平移是对x而言的，因此要平移时，将x前面的系数提取出去，对x本身加减一个数得到10. 在等差数列中，若，则( )A. 38B. 20C. 10D. 9【答案
5、】C【解析】【分析】由，可得，得到，再根据等差数列求和公式，得到，代入即可求解，得到答案【详解】由题意，等差数列中，可得，又解得，又由，即，解得，故选C【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得和是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题二、填空题：（每题4分，共16分）11. 已知实数，满足则函数的最大值为_【答案】【解析】作出不等式所表示的平面区域，如图所示，由得，作出直线，并平移，由图象可知，当直线经过点时，纵截距最小，此时最大，联立，得，即，故12. 已知向量，若，则_.【答案】8【解析】【分析】根据向量共线的坐标
6、表示，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得故答案为8【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.13. 等差数列的前4项和为30，前8项和为100，则它的前12项的和为_【答案】210【解析】【分析】等差数列的公差为，由已知条件可求出公差和首项，结合等差数列的求和公式即可求出前12项的和.【详解】解：设等差数列的公差为，由题意知， ，解得 ，所以前12项的和为，故答案为:210.【点睛】本题考查了等差数列求和公式，考查了等差数列中基本量的求解，属于基础题.14. 已知，则的最小值是_.【答案】9【解析】【分析】把看成 的形式，把“1”换成，整理
7、后积为定值，然后用基本不等式求最小值【详解】等号成立的条件为所以的最小值为9即答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换三、解答题15. 已知角为第三象限角，角为第二象限角，（1）求值（2）求的值【答案】（1） ；（2）.【解析】【分析】（1）由同角间的三角函数关系计算；（2）由两角差的正切公式计算【详解】（1）角为第三象限角，角为第二象限角，（2）由（1），【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式，在用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定函数值的正负16. 已知等比数列中，（1）求及通项公式（2）【答案】（1）；（2）.【解析】分
8、析】（1）由等比数列通项公式列方程计算即可；（2）根据等比数列的求和公式计算.【详解】（1）由题意可得，解得，所以，（2）【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.17. 已知（1）求函数的最小正周期，单调增区间（2）求函数在上的值域【答案】（1）； ；（2）.【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示求出函数式，并利用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最小正周期和增区间；（2）根据正弦函数性质可得值域【详解】（1）由题意，最小正周期是，由得，增区间是；（2）时，时，时，函数值域是【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表
9、示，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，解题关键是利用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后只要结合正弦函数性质求解即可18. 在锐角中，角、所对的边分别为、，且(1)求角；(2)若，求的面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由余弦定理可得，化简可得，由此可求角；(2)，由（1）知， 由此可求的面积的最大值【详解】(1)，是锐角， (2)由（1）知， 即当且仅当时取等号，的面积的最大值为【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式的应用，属中档题.19. 已知数列满足：（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前项和，求证：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）令求得，再令后可求得；（2）在中用（）替换，得一等式，两式相减后可求得，验证是否适用此式即可得；（3）用裂项相消法求和后易证不等式成立【详解】（1）由题意，；（2），两式相减得：，也适用，；（3）由（2），【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的和，解题方法是类比已知求的方法，此法中注意一般情况下两式相减求得的中，需验证是否适合此表达式数列求和中除等差数列和等比数列的前项和公式外还要掌握几种特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法