1、2.1.2空间两条直线的位置关系教学目的：1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.教学过程：一、复习引入： 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）二、讲解新课：1空间
2、两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：说明：公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为
3、此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在已知：和的边，并且方向相同，求证：证明：在和的两边分别截取，是平行四边形，同理，即是平行四边形，所以，(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础.3.空间两条异面直线的画法4异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与是异面直线证明 ：（反证法）假设 直线与共面，点和确定的平面为，直线与共面于，与矛盾，所以，与是异面直线5异面直线所成的角：已
4、知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：6异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作7求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求三、讲解范例：例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形分析：梯形就是一
5、组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例证明：如图，连接BDEH是ABD的中位线，EH/BD,EH=BD.又在BCD中，FG/BD,FG=BD.根据公理4，EH/FG又FGEH,四边形EFGH的一组对边平行但不相等例2 如图，是平面外的一点分别是的重心，求证：证明：连结分别交于，连结，分别是的重心，分别是的中点，又，由公理4知例3 如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点求证：和是异面直线证（法一）：假设和不是异面直线，则与在同一平面内，设为，又，同理，共面于，与已知不共面相矛盾，所以，和是异面直线（法二
6、）：，直线确定一平面设为，且，又不共面，所以，与为异面直线例4 正方体中那些棱所在的直线与直线是异面直线？求与夹角的度数那些棱所在的直线与直线垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，（2）由，可知等于异面直线与的夹角，所以异面直线与的夹角为（3）直线与直线都垂直例5 两条异面直线 的公垂线指的是 ( )(A)和两条异面直线都垂直的直线(B)和两条异面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段(D)和两条异面直线都垂直的所有直线翰林汇答案：B例6 在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条
7、(C)4条 (D)5条答案：BB1, CC1, A1B1, C1D1共四条故选C.例7若a、b是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( ) (A)与a、b都垂直的直线只有一条 (B)a与b的公垂线只有一条 (C)a与b的公垂线有无数条 (D)a与b的公垂线的长就是a、b两异面直线的距离翰林汇答案：B例8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是 ( ) （A） （B）a （C） （D）翰林汇答案：A四、课堂练习： 1 判断（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ） （3）过直线外一点
8、，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2选择题 （1）“a，b是异面直线”是指 ab=且a不平行于b； a 平面a，b 平面b且ab= a 平面a，b 平面a 不存在平面a，能使a a且b a成立上述结论中，正确的是（ ） （A）（B）（C）（D）（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（ ） （A）2对
9、（B）3对（C）6对（D）12对（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面答案：（1）C（2）C（3）A（4）D3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定，还可能异面4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直
10、线解：6选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ） （A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足aa,bb,ab=，则与a,b的位置关系一定是（ ） （A）至多与a，b中的一条相交（B）至少与a，b中的一条相交 （C）与a，b都相交 （D）至少与a，b中的一条平行（3）两异面直线所成的角的范围是（） （A）（0,90）（B）0,90)（C）（0,90（D）0,90答案（1）D（2）B（3）：C7判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“” （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ） （2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ） （3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ） （4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）答案：，五、小结 ：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”
