1、立体几何中常见的一些“补形”与“等效”技巧一.将正四面体放在正方体中主要结论：1.正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然.2.正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体.3.正四面体的对棱中点的连线都互相垂直且相等，等于棱长的倍，反之亦真.4.正四面体的外接球与正方体外接球相同.例1已知四面体的所有棱长均为，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点有下列结论：线段的长度为1；若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；的余弦值的取值范围为；周长的最小值为其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4解析：由于是一个正四面体，所以可以通过正方体来解决该问题.对于，可根据分别为正方体前后两个面
2、的中心可得出结论：正确对于，取为的中点，取为的中点，此时与相交：错误对于，计算可得，由逼近思想可作出判断：正确对于，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出，正确例2如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为.ABCD解析：补成正方体，如图.截面为平行四边形,可得，又 且 可得当且仅当时取等号，选A.二对棱相等的四面体四面体中，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得：而显然四面体和长方体有相同
3、的外接球，设外接球半径为，则，所以例3在四面体中， 分别是的中点则下述结论：四面体的体积为；异面直线所成角的正弦值为；四面体外接球的表面积为；若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为其中正确的有_（填写所有正确结论的编号）解析：根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为，解得，补成长，宽，高分别为的长方体，在长方体中：四面体的体积为，故正确异面直线所成角的正弦值等价于边长为的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为，故错；四面体外接球就是长方体的外接球，半径，其表面积为，故正确；由于，故截面为平行四边形，可得，设异面直线与所
4、成的角为，则，算得，故正确故答案为：三墙角四面体墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R)，秒杀公式：R2可求出球的半径从而解决问题有以下四种类型：例4等腰ABC中，ABAC5，BC6，将ABC沿BC边上的高AD折成直二面角BADC，则三棱锥BACD的外接球的表面积为()A5BC10D34解析：依题意，在三棱锥BACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD4，BDCD3，因此可将三棱锥BACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4
5、，且其外接球的直径2R，故三棱锥BACD的外接球的表面积为4R234例5已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_.解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径CD2R，因此R，故球O的体积V.四圆锥等效于正棱锥，1.如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等2.侧棱，底面半径，圆锥的高构成勾股定理.3.斜高，底面内切圆半径，圆锥的高构成勾股定理.例6（2020全国1卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2
6、）求二面角的余弦值解析：（1）由题设，知为等边三角形，设，则，所以，又为等边三角形，则，所以，则，所以，同理，又，所以平面；五异面直线计算中的补形例7如图，在四面体ABCD中，ABBC，CDBC，BC=2，AB=CD=，且异面直线AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的外接球的表面积为_.解析：将四面体补形为直三棱柱如下图所示（设为直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心）：图（1）中，图（2）中，在图（1）（2）中可知：，所以平面，图（1）（2）中取的中点，连接，则为四面体的外接球的球心，为外接球的半径，图（1）中，且为等边三角形，所以，所以，所以外接球的表面积为；图（2）中，且为等边三角形，所以，所以，所以外接球的表面积为；故答案为：或.