1、2.2.2 向量减法运算及其几何意义 必备知识自主学习 1.相反向量 定义:如果两个向量_,_,那么称这两个向量是相反向量.性质:(1)对于相反向量有:a+(-a)=_.(2)若a,b互为_,则a=-b,a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是_.导思(1)相反向量与相反数一样吗?你能作出向量a与b的差a-b吗?(2)向量减法有哪些运算法则?长度相等 方向相反 0相反向量 零向量【思考】有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“长度相等”是多余的,对吗?提示:不对,相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解,不是仅方向相反,还必须长度相等.2.向量的减法(1)定义:a-b=a+(-b),即减去一
2、个向量相当于加上这个向量的相反向量.(2)作法:在平面内任取一点O,作 =a,=b,则向量a-b=_,如图所示.(3)几何意义:a-b可以表示为从向量b的_指向向量a的_的向量.OAuuurOBuurBAuuur终点 终点【思考】(1)由向量减法的定义,你认为向量的减法与加法有何联系?提示:向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法.(2)由向量减法作图方法,求差的两个向量的起点是怎样的?差向量的方向如何?提示:求差的两个向量是共起点的,差向量连接两向量终点,方向指向被减向量.ABBA【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两向量首尾相连
3、,和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点.()(2)向量a-b,当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向 量.()(3)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.()(4)向量 与向量 是相反向量.()ABBA2.(教材二次开发:例题改编)在ABC中,D是BC的中点,设 =c,=b,=a,=d,则d-a=_.【解析】d-a=d+(-a)=+=c.答案:cABACBDADADDBAB3.设b是a的相反向量,则下列说法正确的有_.a与b的长度必相等;ab;a与b一定不相等;a是b的相反向量.【解析】因为0的相反向量是0,故不正确.其他均正确.答案:关键能力合作学习
4、类型一 向量减法的几何意义(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.(2020济南高一检测)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.2.如图,O为ABC内一点,=a,=b,=c.求作:(1)b+c-a;(2)a-b-c.OAOBOC【解题策略】(1)作两向量的差的步骤.(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后用加法a+(-b)即可.(3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用.【补偿训练】1.如图所示,已知向量a,b,c,求作a-b-c.2.试根据图中给出的向量,确定a,b,c,d的方向(用箭头表示),使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.BA
5、DC类型二 向量的加减法运算(逻辑推理、直观想象)【题组训练】1.在ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,则 等于()AFDBA.FD B.FC C.FE D.BE2.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,|2=16,|=|,则|=()A.8 B.4 C.2 D.1 3.化简:(1)(2)BCAB ACAB ACAM(AB CD)(AC BD).(AC BO OA)(DC DO OB).【解题策略】1.向量减法运算的常用方法 2.向量加法与减法的几何意义的联系 如图所示,平行四边形ABCD中,若 =a,=b,则 =a+b,=a-b.ABADACDB【补偿训练】1.化简下列各式:
6、(1)()+(-).(2)ABMBOBMOABADDC.2.下列各式中不能化简为 的是()A.B.C.D.AD(AB DC)CBAD(CD DC)(CB MC)(DA BM)BM DA MB类型三 向量加减运算几何意义的应用(数学建模、逻辑推理)角度1 利用已知向量表示未知向量 【典例】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且 试用向量a,b,c表示向量 ABACAEabc，CD BC BD.，【思路导引】由平行四边形的性质可知 =c,由向量的减法可知:=,由向量的加法可知 =.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,所以 故 CDAEBCACABBDBCCDCDAEB
7、CACABcba，BDBCCD.bac【变式探究】本例中的条件“B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内 一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】如图,因为四边形ACDE是平行四边形,所以 CDAEBCACAB，cbaBDBCCD.bac 角度2 求解或证明几何问题 【典例】已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|的 值为_.【思路导引】作出图形,利用向量的加减法几何意义求解.77【解题策略】1.解决用已知向量表示未知向量问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系,确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
8、2.利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤如下:(1)由题意作出相对应的几何图形,构造有关向量.(2)利用三角形法则和平行四边形法则,对向量的加、减法进行运算.(3)构造三角形(一般是直角三角形),利用三角形的边、角关系解题.【题组训练】1.如图,在ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知 =a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量 .ABBDOEBEOD2.如图所示,已知 试用a,b,c,d,e,f表示:OAOBOCODabcd，OEOFef，1 ADAB.2 ABCF.3 BFBD.备选类型 向量加减运算的三角不等式(数学建模、逻辑推理)【典例】已
9、知向量a,b,那么|a|-|b|与|ab|及|a|+|b|三者具有什么样的大小关系?【思路导引】(1)零向量的运算性质.(2)向量加(减)法的三角形法则.【解题策略】1.平面向量加减法的几何意义:平行四边形ABCD中,若 =a,=b,则 =a+b,=a-b.2.类比|a|-|b|a+b|a|+|b|可知|a|-|b|a-b|a|+|b|.ABADACDB【补偿训练】(2020本溪高一检测)已知菱形ABCD的边长为2,则向量 的模为_;|的取值范围是_.AB CB CDAC1.下列等式:0-a=-a;-(-a)=a;a+(-a)=0;a-b=a+(-b),其中正确的个数是()A.1 B.2 C.
10、3 D.4【解析】选D.根据向量的加减运算易知均正确.课堂检测素养达标 2.(教材二次开发:练习改编)在ABC中,向量 可表示为()A.B.C.D.【解析】选C.由向量的减法与加法可得正确.BCABACACABBAACBACA；3.如图,在四边形ABCD中,设 =a,=b,=c,则 等于()A.a-b+c B.b-(a+c)C.a+b+c D.b-a+c【解析】选A.=a+c-b=a-b+c.ABADBCDCDC AC AD AB BC AD4.如图,在正六边形ABCDEF中,与 相等的向量有_.(填序号)OA OC CDCFADDABECE BCCA CDAB AE.；5.在平行四边形ABCD中,=a,=b,先用a,b表示向量 和 ,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?ABADACDB