1、第2课时函数的最大(小)值教材要点要点函数最大(小)值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)xI，都有f(x)()M；(2)x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大(小)值状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数yx2(xR)的最大值是0，有f(0)0.基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数f(x)1恒成立，则f(x)的最大值是1.()(2)函数yf(x)的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数yf(x)的最小值对应该函数图象最低点的纵坐标()(3)对于一个函数，函数的值域是确定的，但函数的最值不一定
2、存在()(4)如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)在区间a，c上在xb处有最小值f(b)()2函数f(x)1x在1，)上()A有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值 D无最大值也无最小值3函数f(x)2x1(x2，2)的最小、最大值分别为()A3，5 B3，5C1，5 D5，34函数f(x)在2，2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是_题型1利用图象求函数的最值例1已知函数f(x)x2-x，0x22x-1，x2，求函数f(x)的最大值、最小值方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1(1)已知函数f(x)|x1|2，则f(
3、x)的最大值、最小值分别为()A2，无最小值 B无最大值，2C2，1 D2，0(2)用mina，b表示a，b两个数中的最小值，设f(x)minx2，10x(x0)，则f(x)的最大值为_题型2利用单调性求函数的最值例2已知函数f(x)2x-1(x2，6)，求函数的最大值和最小值状元随笔由函数f(x)2x -1(x2，6)的图象可知，函数f(x)2x -1在区间2，6上单调递减所以，函数f(x)2x -1在区间2，6的两个端点上分别取得最大值和最小值方法归纳1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函
4、数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个跟踪训练2已知函数f(x)32x-1，求函数f(x)在1，5上的最值题型3函数最值的应用角度1二次函数的最值问题例3求函数f(x)x22x2在区间t，t1上的最小值g(t).变式探究将本例的函数改为f(x)x22ax2，试求函数在2，4上的最小值角度2恒成立问题例4已知函数f(x)x2+2x+ax，x1，)
5、(1)当a12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围方法归纳1含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图象开口向上、对称轴为xm为例，区间为a，b当开口向下、区间是闭区间时，用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系2恒成立问题的求解方法在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.跟踪训练3(1)已知二次函数f(x)x22axa在区间0，1上有最大值2，则实数a的值为_(2)对于1，)上的任意
6、x，不等式x2ax90恒成立，则实数a的取值范围为_易错辨析忽略参数的分类讨论致误例5已知函数f(x)2x+mx+1，x0，1.若f(x)的最小值为52，则实数m的值为()A32 B52C3 D52或3解析：函数f(x)2x+mx+12x+1+m-2x+12m-2x+1，x0，1.当m2时，f(x)2，函数不具有单调性；当m20，即m2时，f(x)在0，1上单调递减，在x1处取得最小值，则2+m252，解得m3；当m20，即m2时，f(x)在0，1上单调递增，在x0处取得最小值，则m52，不成立综上可得m3.故选C.答案：C易错警示易错原因纠错心得忽视对系数的讨论而认为函数是增函数或减函数的一
7、种涉及函数f(x)kx或f(x)kxb(k0)的单调性或最值时，若k的值不确定，则必须对k进行分类讨论课堂十分钟1函数y2x+1在2，3上的最小值为()A1 B13C23 D122函数f(x)x2+6，x1，2x+7，x-1，1，则f(x)的最大值和最小值分别为()A10，6 B10，8C8，6 D10，73当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)4若函数yax1(a0)在区间1，3上的最大值为4，则a_5函数f(x)kxb，(k0)，xR.(1)若f(1)1，f(1)5，求f(x)(2)若b3，且函数f(x)在区间1，3上的最大值为6，求
8、k的值第2课时函数的最大(小)值新知初探课前预习基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2答案：A3答案：B4答案：1，2题型探究课堂解透例1解析：作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x2时，f(x)取最大值2；当x12时，f(x)取最小值14.所以f(x)的最大值为2，最小值为14.跟踪训练1解析：(1)f(x)|x1|23-x，x1，x+1，x4，所以函数f(x)的图象如图中的实线部分，解方程x210x，得x4，此时y6，故两图象交点为(4，6)观察图象知，两图象的交点即为f(x)minx2，10x(x0)图象的最高点，即f(x)的最大值为6.答案：(1)A(2)6例2解析：x1，x22
9、，6，且x1x2，则f(x1)f(x2)2x1-1-2x2-12x2-1-x1-1x1-1x2-12x2-x1x1-1x2-1.由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函数f(x)2x-1在区间2，6上单调递减因此，函数f(x)2x-1在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值在x2时取得最大值，最大值是2；在x6时取得最小值，最小值是0.4.跟踪训练2解析：先证明函数f(x)32x-1的单调性，设x1，x2是区间12，+上的任意两个实数，且x2x112，f(x1)f(x2)32x1-1-32x2-16x2-x12x1-12x2-1.由于
10、x2x112，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)32x-1在区间12，+上是单调递减的，所以函数f(x)在1，5上是单调递减的，因此，函数f(x)32x-1在区间1，5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5)13.例3解析：f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为直线x1.当t11，即t1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为g(t)f(t)t22t2.综上可得，g(t)t2+1，t1.变式探究解析：f(x)x22ax2(xa)
11、22a2，函数图象的对称轴是直线xa，且图象开口向上当a4时，f(x)在2，4上是减函数，f(x)minf(4)188a；当2a4时，f(x)minf(a)2a2，f(x)min6-4a，a4.例4解析：(1)当a12时，f(x)x12x2.设1x1x2，则f(x2)f(x1)(x2x1)1-12x1x2，1x10，2x1x22，012x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.跟踪训练
12、3解析：(1)f(x)(xa)2a2a，对称轴为xa.当a1时，f(x)在0，1上单调递增，f(1)2，即a3.当0a1时，f(x)在0，a上单调递增，在a，1上单调递减，f(a)2，即a2a2，解得a2或a1，与0a1矛盾综上a2或a3.(2)x1，)，由x2ax90得ax+9x，而函数yx9x在1，3上递减，在3，)上递增，函数yx9x在x3处取得最小值，即ymin6，-x+9xmax6，a6.故a的取值范围为(6，)答案：(1)2或3(2)(6，)课堂十分钟1答案：D2答案：A3答案：C4答案：15解析：(1)由题意得-k+b=1k+b=5，所以k2，b3fx2x3(2)b3，fxkx3，当k0，函数fx在区间-1，3上为增函数，f36，3k36，得k1当k0，函数fx在区间-1，3上为减函数，f-16，k36，得k3k1或k3