1、第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解任意角的概念2掌握终边相同角的含义及其表示(重点、难点)3掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法(难点、易错点)1.通过对任意角的学习，提升学生数学抽象素养2借助角范围的形成与深入，提升学生数学运算和直观抽象素养.自 主 预 习 探 新 知 1角的概念角可以看成平面内绕着端点从一个位置到另一个位置所形成的图形旋转一个射线2角的表示如图，(1)始边：射线的位置OA，(2)终边：射线的位置OB，(3)顶点：射线的O.图中的角可表示为“角”或“”或“”起始终止端点3任意角的分类(1)按旋转方向分(2)按
2、角的终边位置分前提：把角放在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，角的始边与重合分类：x轴的非负半轴原点4终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和1下列说法中正确的是()A第二象限角大于第一象限角B第二象限角是钝角C终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同D以上说法皆错C A错误如第二象限角100小于第一象限角361.B错误如第二象限角181不是钝角 C正确250角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是_670 由题意知，所得角是502360670.3已知0360，且与60
3、0角终边相同，则_，它是第_象限角240 三 因为600360240，所以240角与600角终边相同，且180240270，故240，它是第三象限角合 作 探 究 释 疑 难 任意角和象限角的概念【例1】(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上)(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角420，855，510.(1)锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确；350角是第一象限角，但它是负
4、角，所以错误；0角是小于180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误；360角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误(2)解 作出各角的终边，如图所示：由图可知：420是第一象限角 855是第二象限角 510是第三象限角1判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小2象限角的判定方法(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限(2)利用终边相同的角：第一步，将写成k360(kZ,0360)的形式；第二步，判断的终边所在的象限；第三步，根据的终边所在的象限，即可确定
5、的终边所在的象限跟进训练1已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，则下面关系正确的是()AABC BACCACBDBCCD 由已知得B C，所以BCC，故D正确2给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个D4个D 90750，180225270，36090475360180，31536045且04590.所以这四个命题都是正确的终边相同的角的表示及应用【例2】(1)将885化为k360(0360，kZ)的形式是_(2)写出与910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来思路点
6、拨：利用终边相同的角的集合与角 终边相同的角的集合为 S|k360，kZ(1)(3)360195 8851 080195(3)360195.(2)解 与910终边相同的角的集合为|k360910，kZ，720360，即720k360910360，kZ，k取1,2,3.当k1时，360910550；当k2时，2360910190；当k3时，3360910170.1在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角化成k360的形式(其中0360，kZ)，其中就是所求的角(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所
7、给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到所求为止2运用终边相同的角的注意点 所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k360，kZ表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉(2)是任意角(3)k360与之间用“”连接，如k36030应看成k360(30)，kZ.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍 提醒：表示终边相同的角，kZ这一条件不能少跟进训练3下面与85012终边相同的角是()A23012 B22948C12948D13012B 与85012终边相同的角可表示为85012k360(kZ)，当k
8、3时，850121 08022948.4写出角的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为_|k180135，kZ 落在第二象限时，表示为k360135.落在第四象限时，表示为k360180135，故可合并为|k180135，kZ5已知角2 018.(1)把改写成k360(kZ,0360)的形式；(2)求，使与终边相同，且360720.解(1)由2 018除以360，得商为5，余数为218，取k5，218，5360218.(2)与2 018角终边相同的角为k3602 018(kZ)令360k3602 018720，kZ，k取6，5，4.将k的值代入k3602 018中，得角的值为142，218
9、，578.任意角终边位置的确定和表示 探究问题1若射线OA的位置是k36010，kZ，射线OA绕点O逆时针旋转90经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为|k36010k360100，kZ2若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称，则角与分别具有怎样的关系？提示：(1)关于x轴对称：若角与的终边关于x轴对称，则角与的关系是k360，kZ.(2)关于y轴对称：若角与的终边关于y轴对称，则角与的关系是180k360，kZ.(3)关于原点对称：若角与的终边关于原点对称，则角与的关系是180k360，kZ.(4)关于直线yx
10、对称：若角与的终边关于直线yx对称，则角与的关系是90k360，kZ.【例 3】(1)若 是第一象限角，则2是()A第一象限角B第一、三象限角C第二象限角D第二、四象限角(2)已知，如图所示分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合思路点拨：(1)写出的范围 得到2的范围 判断2的象限(2)观察图形 确定终边落在OA，OB位置上的角 (1)B 因为 是第一象限角，所以 k360k36090，kZ，所以 k1802k18045，kZ，当 k 为偶数时，2为第一象限角；当 k 为奇数时，2为第三象限角 所以2是第一、三象限角(2)解 终边落在 OA
11、位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ；终边落在 OB 位置上的角的集合为|30k360，kZ 由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30，135之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30k360135k360，kZ1在本例(1)中，条件不变，问2是第几象限角？解 由 k360k36090，kZ，k1802k18045，kZ，2是第一、三象限角 又因为2与2的终边关于 x 轴对称，所以2是第二、四象限角2若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解 在 0360范围内，终边落在阴影部分(包括边
12、界)的角为60105与 240285，所以所有满足题意的角 为|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ|2k180602k180105，kZ|(2k1)18060(2k1)180105，kZ|n18060n180105，nZ 故角 的取值集合为|n18060n180105，nZ1表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角 和，写出最简区间x|x，其中 360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上 360的整数倍，即得区间角集合2n 或n所在象限的判断方法：(1)用不等
13、式表示出角 n 或n的范围；(2)用旋转的观点确定角 n 或n所在象限例如：k1203k12030，kZ.由 0330，每次逆时针旋转 120可得3终边的位置提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异跟进训练6若角的终边落在如图所示的图形范围内，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解 在 0360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围为：150225，则所有满足条件的角 为|k360150k360225，kZ课 堂 小 结 提 素 养 1本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是 n 及n所在象限的判定2本节课要重点掌握以下规律方法(1)关于终边相
14、同的角的认识一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ注意：为任意角；k360与 之间是“”号，k360 可理解为 k360()；相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍；kZ 这一条件不能少1下列说法正确的是()A三角形的内角是第一象限角或第二象限角B第四象限的角一定是负角C60角与 600角是终边相同的角D将表的分针拨慢 10 分钟，则分针转过的角为 60D A 错误，90角既不是第一象限角也不是第二象限角；B 错误，280角是第四象限角，但它不是负角；C 错误，60060540不是 360的整数倍
15、；D 正确，分针转一周为 60 分钟，转过的角度为360，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢 10 分钟转过的角为 3601660.2下列各个角中与 2 017终边相同的是()A147 B677C317D217D 因为 2 0173605217，所以与 2 017终边相同的角是 217.3已知角 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角 的集合是_|k36045k360150，kZ 观察图形可知，角 的集合是|k36045k360150，kZ4在 0到 360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角(1)120；(2)640.解(1)与120终边相同的角的集合为 M|120k360，kZ 当 k1 时，1201360240，在 0到 360范围内，与120终边相同的角是 240，它是第三象限的角(2)与 640终边相同的角的集合为 M|640k360，kZ 当 k1 时，640360280，在 0到 360范围内，与 640终边相同的角为 280，它是第四象限的角点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!