1、第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质6.3函数的最值课后篇巩固提升必备知识基础练1.函数f(x)=lnxx的最大值为()A.1eB.eC.e2D.103答案A解析令f(x)=(lnx)x-lnxxx2=1-lnxx2=0,解得x=e.当xe时,f(x)0;当0x0.f(x)的极大值为f(e)=1e,且函数在定义域内只有一个极值,所以f(x)max=1e.2.已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且f(x)g(x),则f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)答案A解析令F(x)=f(x)
2、-g(x),f(x)g(x),F(x)=f(x)-g(x)0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-1,+)B.(-,-1)C.-1,+)D.(-,-1答案A解析f(x)=ex-1,令f(x)0,解得x0,令f(x)0,解得x0恒成立,则1+a0,解得a-1,故选A.4.函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是()A.(-1,11)B.(-1,2)C.(-1,2D.(1,4)答案C解析由题意知f(x)=3-3x2,令f(x)0,解得-1x1,令f(x)0,解得x1,由此知函数在(-,-1)内单调递减,在(-1,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,函
3、数f(x)在x=-1处取得极小值-2.由题意知,-1(a2-12,a),即a2-12-1a,解得-1a11.又f(a)f(-1),-10.由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切,得f(1)=0,f(1)=-12,即a-2b=0,-b=-12,解得a=1,b=12.(2)由(1),得f(x)=lnx-12x2,定义域为(0,+).f(x)=1x-x=1-x2x.令f(x)0,得0x1,令f(x)1,所以f(x)在1e,1上单调递增,在(1,e上单调递减,所以f(x)在1e,e上的最大值为f(1)=-12.关键能力提升练8.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是()f(x
4、)0的解集是x|0x0,可得(2x-x2)ex0,ex0,2x-x20,0x2,故正确;f(x)=ex(2-x2),由f(x)=0,得x=2,由f(x)2或x0,得-2x2,f(x)的单调减区间为(-,-2),(2,+),单调增区间为(-2,2),f(x)的极大值为f(2),极小值为f(-2),故正确;当x-2时,f(x)1时,函数y=(ln x)2+aln x+1的图象在直线y=x的下方,则实数a的取值范围是()A.(-,e)B.-,e2-52C.-,4e-52D.(-,e-2)答案D解析由题意得(lnx)2+alnx+11),由x1,得lnx0,故a1),则t(x)=1-xx0,故t(x)
5、在(1,+)内单调递减,故t(x)t(1)=0,即t(x)0,解得xe,令g(x)0,解得1xe,故g(x)在(1,e)内单调递减,在(e,+)内单调递增,故g(x)min=g(e)=e-2,故abC.abD.a,b的大小不能确定答案A解析f(x)的定义域是(0,+),f(x)=1-1x=x-1x,令f(x)0,解得0x0,解得x1,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增,f(x)的最小值是f(1)=1,故a=1.g(x)=xex-lnx-x,定义域(0,+),g(x)=(x+1)ex-1x-1=x+1x(xex-1),令h(x)=xex-1,则h(x)=(x+1)ex,h(x
6、)在(0,+)内单调递增,且h(0)0,故存在x0(0,1)使得h(x)=0,即x0ex0=1,即x0+lnx0=0,当x(0,x0)时,h(x)0,g(x)0,g(x)0,函数g(x)单调递增,故当x=x0时,函数g(x)取得最小值g(x0)=x0ex0-ln x0-x0=1-ln x0-x0=1,即b=1,a=b.12.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时,t的值为()A.1B.12C.52D.22答案D解析当x=t时,|MN|=|f(t)-g(t)|=|t2-lnt|(t0).令(t)=t2-lnt(t0),所以(t)=2t-
7、1t=2t2-1t.所以当t0,22时,(t)单调递减;当t22,+时,(t)单调递增.所以当t=22时,(x)min=12+12ln20,即|MN|min=(x)min.故|MN|取最小值时t=22.13.已知a4x3+4x2+1对任意x-2,1都成立,则实数a的取值范围是.答案(-,-15解析设f(x)=4x3+4x2+1,x-2,1,则f(x)=12x2+8x,令f(x)=0,得x=0或x=-23.所以在区间-2,-23上,f(x)0,f(x)为增函数,在区间-23,0上,f(x)0,f(x)为增函数,因此在闭区间-2,1上,函数f(x)在x=-23处取得极大值f-23,在x=0时函数取
8、得极小值f(0),且f(0)=1,f(1)=9,f(-2)=-15,所以f(-2)=-15是最小值,所以实数a-15.14.已知函数f(x)=aexx,x1,3,且x1,x21,3,x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x2x2,f(x1)-f(x2)x1-x22可化为f(x1)-2x1f(x2)-2x2,可得函数g(x)=f(x)-2x=aexx-2x在x1,3内单调递减,g(x)=aex(x-1)x2-20在x1,3上恒成立,即a2x2ex(x-1)在x(1,3内恒成立,令h(x)=2x2ex(x-1),x(1,3,则h(x)=-2x(x-1)2+1ex(x-1)20,解得x1e,令f(x
9、)0,解得0x1时,g(x)0,故g(x)在(1,+)内单调递增,所以g(x)的最小值是g(1)=1.因此ag(x)min=g(1)=1,故a的取值范围为(-,1.16.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,cR),(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x-2,6时,f(x)2|c|恒成立,求c的取值范围.解(1)f(x)=3x2-2ax+b,函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.-1+3=2a3,-13=b3,a=3,b=-9.(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f
10、(x)=3x2-6x-9.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,3)3(3,6)6f(x)+0-0+f(x)c-2极大值c+5极小值c-27c+54而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,当x-2,6时,f(x)的最大值为c+54,要使f(x)2|c|恒成立,只要c+542|c|即可,当c0时,c+5454;当c0时,c+54-2c,c-18,c(-,-18)(54,+).故c的取值范围为(-,-18)(54,+).学科素养创新练17.设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),若在(a,b)上,f(x)0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m2时,f(x)=16x3-12mx2+2x+2在(-1,2)上是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)上()A.既没有最大值,也没有最小值B.既有最大值,也有最小值C.有最大值,没有最小值D.没有最大值,有最小值答案A解析f(x)=12x2-mx+2,f(x)=x-m;函数f(x)在(-1,2)上是“凸函数”,f(x)=x-mx在(-1,2)上恒成立,m2,又m2,m=2.f(x)=12x2-2x+2=12(x-2)20,所以f(x)在(-1,2)内单调递增,所以该函数在该区间上既没有最大值,也没有最小值.
