1、章末复习课回顾本章学习过程、建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联系.要点训练一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率是直线方程中最基本的两个概念,它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.(1)倾斜角的范围是0,).(2)倾斜角与斜率的对应关系:当90时,k=tan;当=90时,斜率不存在.(3)斜率公式:经过A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点的直线的斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1x2),应用时注意其适用的条件x1x2,当x1=x2时,直线的斜率不存在.1.过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-12,则a等于()A.-8B.10C.
2、2D.4解析:因为过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-12,所以有4-aa-(-2)=-12,所以a=10.答案:B2.直线3x+y+1=0的倾斜角的大小为()A.30B.60C.120D.150解析:由直线方程3x+y+1=0,可知直线的斜率k=-3.设直线的倾斜角为,则tan =-3.因为0,),所以=120.答案:C3.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k满足()A.k34或k-4B.k34或k-1C.-4k34D.34k4解析:如图所示,过点P作直线PCx轴交线段AB于点C,作直线PA,PB.当直线l与线段AB的
3、交点在线段AC (不含点C)上时,直线l的倾斜角为钝角,斜率k的范围是kkPA.当直线l与线段AB的交点在线段BC (不含点C)上时,直线l的倾斜角为锐角,斜率k的范围是kkPB.因为kPA=-3-12-1=-4,kPB=-2-1-3-1=34,所以直线l的斜率k满足k34或k-4.答案:A4.若A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三点在同一直线上,则实数b=-9.解析:因为A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三点在同一直线上,所以kAB=kAC,即b-1-2-3=11-18-3,解得b=-9.要点训练二距离问题距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离,牢记
4、各类距离公式并能直接应用.解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.1.直线l过点P(1,2),且M(2,3),N(4,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程是()A.4x+y-6=0B.x+4y-6=0C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0D.2x+3y-7=0或x+4y-6=0解析:由条件可知直线l平行于直线MN或过线段MN的中点,MN的斜率为3+52-4=-4.当直线lMN时,l的方程是y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0.当直线l经过线段MN的中点(3,-1)时,l的斜率为2+11-3=-32,l的方程是y-2=-32(x-1),即3x+2y-7=0.综上所述
5、,直线l的方程为3x+2y-7=0或4x+y-6=0.答案:C2.从点A(1,-2)射出的光线经直线l:x+y-3=0反射后到达点B(-1,1),则光线所经过的路程是()A.11B.13C.213D.37解析:设点A(1,-2)关于直线l:x+y-3=0的对称点的坐标为A(x0,y0),则y0+2x0-1(-1)=-1,1+x02+-2+y02-3=0,解得x0=5,y0=2.所以点A(1,-2)关于直线l:x+y-3=0的对称点的坐标为A(5,2).所以光线所经过的路程|AB|=(5+1)2+(2-1)2=37.答案:D3.(全国卷)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.
6、1B.2C.3D.2解析:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|1+k|k2+1=k2+2k+1k2+1=1+2kk2+1.因为要求距离的最大值,故需k0.因为k2+12k,当且仅当k=1时等号成立,所以d1+2k2k=2,当k=1时等号成立.故选B.答案:B4.若点M(m,n)为直线l:3x+4y+2=0上的动点,则m2+n2的最小值为425.解析:由题意知m2+n2的最小值表示:直线l:3x+4y+2=0上的点M(m,n)到点(0,0)的最短距离的平方.因为点(0,0)到直线l:3x+4y+2=0的距离为|0+0+2|9+16=25,所以m2+n2的最小值为425.要点训练三直线
7、的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法,要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化,能根据条件灵活选用方程,当不能确定某种条件是否具备时,要另行讨论条件不满足的情况.(2)运用直线系方程的主要目的是使计算简捷.1.已知A(3,1),B(-1,2),若ACB的平分线所在直线的方程为y=x+1,则直线AC的方程为()A.y=2x+4B.y=12x-3C.x-2y-1=0D.3x+y+1=0解析:设点A(3,1)关于直线y=x+1的对称点为A(x1,y1),则y1-1x1-3=-1,y1+12=x1+32+1,解得x1=0,y1=4,即A(0,4).所以直线AB的方程为2x-y+4=0.联立2
8、x-y+4=0,y=x+1,解得x=-3,y=-2,即C(-3,-2).所以直线AC的方程为x-2y-1=0.答案:C2.直线mx-y-m+2=0过定点A,若直线l过点A且与直线2x+y-2=0平行,则直线l的方程为()A.2x+y-4=0B.2x+y+4=0C.x-2y+3=0D.x-2y-3=0解析:由mx-y-m+2=0,得y-2=m(x-1),所以直线mx-y-m+2=0过定点A(1,2).又因为直线2x+y-2=0的斜率k=-2,且与直线l平行,所以直线l的斜率为-2,所以直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.答案:A3.经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y
9、轴上的截距的直线方程是x+y=2或x-y=0.解析:当直线不过原点时,设直线的方程为x+y=a.把点A(1,1)代入可得1+1=a,即a=2,此时直线的方程为x+y=2.当直线过原点时,直线的方程为y=x,即x-y=0.综上可得,满足条件的直线方程为x+y=2或x-y=0.4.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,0),B(4,6),C(0,8),则BC边上的高所在直线的一般方程为2x-y-6=0.解析:BC边所在直线的斜率kBC=8-60-4=-12,所以BC边上的高所在直线的斜率k=2,所以BC边上的高所在直线的方程为y=2(x-3),化为一般式方程为2x-y-6=0.要点训练四圆的方程
10、(1)求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等,运用待定系数法时,要充分利用题目中提供的三个条件来确定三个独立的参数;使用几何法时,要充分利用圆的有关性质,如垂径定理、“半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形”等.(2)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径,则一般选用圆的标准方程,否则选用圆的一般方程.1.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为()A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=4C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=4解析:设圆心C(a,b).因为直线x-y-1=0与圆C相切于点B(2,1),所以斜率kBC=b-1a-2=-
11、1,即a+b-3=0.因为AB所在直线为y=1,所以圆心C满足直线x=3,即a=3,所以b=0,所以半径r=(3-2)2+(0-1)2=2,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.答案:A2.已知过点(2,2)的圆C的圆心在直线x-y=0上,且与直线x+y=0相切,则圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=2.解析:根据圆C的圆心在直线x-y=0上,可设圆C的圆心为(a,a),半径为r.由圆C过点(2,2)且与直线x+y=0相切,得r2=(2-a)2+(2-a)2=|2a|12+122,解得a=1,所以圆心的坐标为(1,1),所以r2=(2-1)2+(2-1)2=2,所以圆C的方程为(x-1)
12、2+(y-1)2=2.3.(1)已知圆M经过A(2,-3)和B(-2,-5)两点,若圆心在直线x-2y-3=0上,求圆M的标准方程;(2)求过点A(-1,0),B(3,0)和C(0,1)的圆N的一般方程.解:(1)由点A(2,-3)和点B(-2,-5)可得线段AB的中点坐标为(0,-4),其所在直线的斜率kAB=-5+3-2-2=12.所以线段AB的垂直平分线的方程为y+4=-2(x-0),即2x+y+4=0.所以2x+y+4=0,x-2y-3=0,得x=-1,y=-2,即圆M的圆心坐标为(-1,-2).所以半径r=(-1-2)2+(-2+3)2=10.所以圆M的标准方程为(x+1)2+(y+
13、2)2=10.(2)设圆N的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆N过点A(-1,0),B(3,0)和C(0,1),所以1-D+F=0,9+3D+F=0,1+E+F=0,解得D=-2,E=2,F=-3,所以圆N的一般方程为x2+y2-2x+2y-3=0.要点训练五直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系,一般用代数法或几何法,为避免烦琐的运算,最好用几何法,其解题思路是:先求出圆心到直线的距离d,然后比较所求距离d与半径r的大小关系,进而判断直线和圆的位置关系.1.直线x+3y-2=0被圆(x-1)2+y2=1截得的线段的长为()A.1B.2C.3D.2解析:由题意,知圆心坐标为(1
14、,0),半径r=1,则圆心到直线的距离d=|1+0-2|12+(3)2=12,所以截得的线段长为2r2-d2=3.答案:C2.已知圆C:x2+y2-4x=0与直线l相切于点P(1,3),则直线l的方程为()A.x-3y+2=0B.x-3y+4=0C.x+3y-4=0D.x+3y-2=0解析:圆C的方程x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,显然过点P(1,3)的直线x=1不与圆C相切.因为过点P和圆心的直线斜率为0-32-1=-3,所以直线l的斜率为33,利用直线的点斜式方程,可得y-3=33(x-1),整理得x-3y+2=0.答案:A3.已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+y2-4
15、x+3=0相切,切点在第四象限,则直线l的方程为x+3y=0.解析:由题意,知直线l的斜率存在.不妨设过原点的直线l的方程为y=kx.把y=kx代入圆的方程,整理得(1+k2)x2-4x+3=0.由=0,解得k=-33k=33舍去.所以直线l的方程为x+3y=0.4.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为27,求圆C的方程.解:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).由圆C与y轴相切,得|a|=r.因为圆心在直线x-3y=0上,所以a-3b=0.因为圆心C(a,b)到直线y=x的距离d=|a-b|2,所以|a-b|22+(7)2=r2.联立,得
16、方程组|a|=r,a-3b=0,|a-b|22+(7)2=r2,解得a1=3,b1=1,r1=3,a2=-3,b2=-1,r2=3.故圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.要点训练六圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,其判断方法有两种:代数法(解两圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r,R的和或差的大小关系来判断).(1)求相交两圆的公共弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与
17、圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.1.圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是()A.内切B.外离 C.外切 D.相交解析:由题意可得,两圆方程分别为x2+y2=1,(x-2)2+(y+1)2=9,所以两圆圆心分别为(0,0),(2,-1),半径分别为r1=1,r2=3,所以圆心距d=(2-0)2+(-1-0)2=5.因为|r1-r2|50)的公共弦长为22,则m=2.解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2.将x2+y2=4与x2+y2+2mx-8=0相减,得公共弦所在直线的
18、方程为mx-2=0,所以圆心(0,0)到公共弦所在直线的距离为|-2|m2=2m(m0),所以22-(2)2=2m2,解得m=2.4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l与圆C2的相交弦长为23且过点(2,1),求直线l的方程.解:(1)由圆C1:x2+y2=1,得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1.因为x2+y2-6x+m=0可化为(x-3)2+y2=9-m,所以圆C2的圆心为C2(3,0),半径r2=9-m.因为圆C1与圆C2外切,所以|C1C2|=r1+r2,即3=1+9-m,解得
19、m=5.(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,圆心C2(3,0),半径r2=2.由题意可得圆心C2到直线l的距离d=r22-2322=1.当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;当直线l斜率为k时,直线方程为y-1=k(x-2),化为一般方程为kx-y-2k+1=0,此时圆心C2(3,0)到直线l的距离d=|k+1|k2+1=1,解得k=0,所以直线方程为y=1.综上所述,直线l的方程为x=2或y=1.要点训练七分类讨论思想由于直线的斜率及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的局限性,在解决直线的斜率、直线与直线的位置关系问题时,常常用到分类讨论思想.1.
20、已知直线l的方程为ax+2y-a-2=0(aR).(1)若直线l与直线m:2x-y=0垂直,求a的值.(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求该直线的方程.解:(1)因为直线l与直线m:2x-y=0垂直,所以-a22=-1,解得a=1.(2)当a=0时,直线l的方程化为y=1,不满足题意,舍去.当a0时,可得直线l与坐标轴的交点为0,a+22,a+2a,0.因为直线l在两坐标轴上的截距相等,所以a+22=a+2a,解得a=2.所以该直线的方程为x-y=0或x+y-2=0.2.在平面直角坐标系中,已知直线l过点(1,1).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若直线l与两坐
21、标轴围成的三角形的面积为14,求直线l的方程.解:(1)若直线l过原点,则直线l的方程为y=x.若直线l不过原点,设直线l的方程为xa+ya=1(a0),将点(1,1)的坐标代入,得1a+1a=1,解得a=2,此时直线l的方程为x+y-2=0.综上所述,直线l的方程为y=x或x+y-2=0.(2)由题意,知直线l的斜率存在且不为0,所以可设直线l的方程为y=k(x-1)+1(k0),可得直线l与坐标轴的交点坐标为(0,1-k),k-1k,0,所以12|1-k|k-1k=14,解得k=2或k=12.所以直线l的方程为y=2x-1或y=12x+12.要点训练八转化与化归思想转化与化归思想一般是代数
22、问题几何化,几何问题代数化,在本章中常见的是直线、圆位置关系与方程(组)的转化,最值问题的转化等.1.已知圆(x-1)2+(y+2)2=1上一点P到直线3x-4y-3=0的距离为d,则d的最小值为()A.35B.45C.1D.2解析:由题意,知圆(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为(1,-2),半径r=1.所以圆心(1,-2)到直线3x-4y-3=0的距离d=|31-4(-2)-3|32+(-4)2=851.所以直线3x-4y-3=0与圆(x-1)2+(y+2)2=1外离.所以圆上的点到直线3x-4y-3=0的距离的最小值为d-r=85-1=35.故选A.答案:A2.(北京高考)已知半径为1
23、的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7解析:如图.设圆心为C(x,y),则(x-3)2+(y-4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1|OM|=32+42=5,所以|OC|5-1=4,当且仅当圆心C在线段OM上时取得等号,故选A.答案:A3.若实数x,y满足(x-3)2+y2=94,则3x-yx2+y2的最小值为()A.12B.1C.3D.2解析:如图.设P(x,y)为圆(x-3)2+y2=94上的任意一点,则点P到直线3x-y=0的距离|PM|=|3x-y|2=3x-y2,点P到原点的距离|OP|=x2+y2,所以3x-yx2+y2=2|PM|OP|=2sinPOM.设圆(x-3)2+y2=94与直线y=kx相切,则|3k|k2+1=32,解得k=33或k=-33.由此可知POM的最小值为30,故3x-yx2+y2的最小值为2sin 30=1.故选B.答案:B