1、第二章 机械振动章末整合提升主题一简谐运动的图像及应用简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间的变化规律.从图像中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律,具体分析如下.(1)可以确定振动质点在任一时刻的位移.(2)确定振动的振幅.图中最大位移的大小就是振幅.(3)确定振动的周期和频率.(4)确定各时刻质点的振动方向(看临近的下一时刻质点到达的位置).(5)比较各时刻质点的加速度(回复力)的方向和大小.(6)比较不同时刻质点的势能、动能的大小.质点离开平衡位置的位移越大,它所具有的势能越大,动能越小.【典例1】某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x随时间t变化的关系
2、式为x=Asin t,图像如图所示,则下列说法不正确的是( )A.弹簧在第1 s末与第5 s末的长度相同B.简谐运动的圆频率=4 rad/sC.第3 s末弹簧振子的位移大小为22AD.第3 s末至第5 s末弹簧振子的速度方向都相同解析:由振动图像看出,弹簧振子在第1 s末与第5 s末的位移大小相等,方向相反,说明弹簧分别处于伸长和压缩两个不同状态,则弹簧的长度不同,故选项A说法不正确.由图读出周期T=8 s,则圆频率 =2T=4 rad/s,故选项B说法正确.将t=3 s代入振动方程得x=Asin t=Asin 43=22A,选项C说法正确.由图看出第3 s末至第5 s末弹簧振子振动的速度方向
3、相同,选项D说法正确.答案:A【典例2】(多选)一弹簧振子做简谐运动,它所受的回复力F随时间t变化的图线为正弦曲线,如图所示,下列说法正确的是( )A.在0到2 s时间内,弹簧振子做减速运动B.t1=3 s和t2=5 s时,弹簧振子的速度大小相等,方向相反C.t1=5 s和t2=7 s时,弹簧振子的位移大小相等,方向相同D.在0到4 s时间内,t=2 s时弹簧振子所受回复力做功的功率最小解析:由于F=-kx,由F-t图像知,在0到2 s时间内,弹簧振子位移变大,离开平衡位置做减速运动,选项A正确.t1=3 s和t2=5 s时,力的大小相等,方向相反,由图像分析知,速度大小相等,方向相同,选项B
4、错误.t1=5 s和t2=7 s时振子的位移大小、方向都相同,选项C正确.在0到4 s时间内,t=2 s 时弹簧振子在最大位移处,所受回复力最大,速度为0,功率最小,选项D正确.答案:ACD主题二简谐运动的周期性和对称性1.周期性(1)做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能恢复到原来的状态,物体的各个状态参量(位移、速度、加速度、回复力等)的大小和方向完全相同.(2)做简谐运动的物体经过半个周期的奇数倍,物体的各个状态参量(位移、速度、加速度、回复力等)的大小相同,方向相反.因此解决简谐运动的问题时应注意周期性造成的多解可能.2.对称性(1)速率的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具
5、有相等的速率.(2)加速度和回复力的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力.(3)时间的对称性:系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等.振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过这两点的时间相等.【典例3】一质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经过平衡位置向右运动起开始计时,经0.13 s质点第一次通过M点,再经0.1 s质点第二次通过M点.求质点的振动周期.解析:将物理过程模型化,画出具体运动过程.(1)当M点在平衡位置的右侧时,如图甲所示,质点从O到M运动时间为0.13 s,再由M经最右端A返回M经历时间为0.1 s,如图乙所示. 甲 乙由图可以看出MA
6、历时0.05 s,即由OMA历时0.18 s,根据简谐运动的对称性可得T1=40.18 s=0.72 s.(2)当M点在平衡位置的左侧时,如图丙所示,质点由O点经最右方A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s,再由M点向左经最左端A点返回M点历时0.1 s.丙由图可以看出,由OAM历时t1=0.13 s,由MA历时 t2=0.05 s,即OAMA历时0.18 s,则34T2=0.18 s,解得T2=0.24 s.答案:0.72 s或0.24 s【典例4】物体做简谐运动,通过A点时的速度为v,经过 1 s后物体第一次以相同速度v通过B点,再经过1 s 物体再次通过B点,已知物体在2 s内所走过
7、的总路程为12 cm,则该简谐运动的周期和振幅分别是多大?解析:物体通过A点和B点时的速度大小相等,A、B两点一定关于平衡位置O对称.依题意作出物体的振动路径草图如图甲、乙所示.在图甲中,物体从A向右运动到B,即图中从1运动到2,时间为1 s;从2运动到3,又经过1 s.从1到3共经历了0.5T,即0.5T=2 s,T=4 s,2A=12 cm,A=6 cm. 甲 乙在图乙中,物体从A先向左运动,当物体第一次以相同的速度通过B点时,即图中从1运动到2时,时间为1 s;从2运动到3,又经过1 s.从图中可以看出从1运动到3共经历了1.5T,即1.5T=2 s,T=43 s,1.54A=12 cm
8、,A=2 cm.答案:4 s6 cm或43 s2 cm主题三单摆周期公式的应用1.单摆的周期公式为T=2lg.该公式提供了一种测量重力加速度的方法.2.注意(1)单摆的周期T只与摆长l及重力加速度g有关,而与摆球的质量及振幅无关.(2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球球心的距离,要区分摆长和摆线长.“l”实际为摆球球心到摆动所在圆弧的圆心的距离.(3)g为当地的重力加速度或“等效重力加速度”.【典例5】用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验,要求摆动的最大角度小于5,则开始时摆球拉离平衡位置的距离应不超过cm.(提示:单摆被拉开小角度的情况下,所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程.)某同学想设计
9、一个新单摆,要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等.新单摆的摆长应为cm.(结果保留1位小数)解析:当摆动的角度为5时,摆球拉离平衡位置的距离最大,设为s,则根据题意得s=5l180=53.140.8180 m=7.0 cm,故开始时摆球拉离平衡位置的距离应不超过7.0 cm;单摆的周期公式T=2lg,设原来单摆的周期为T,新单摆的周期为T,根据题意知11T=10T,所以TT=ll=1110,l=121100l=12110080 cm=96.8 cm.答案:7.096.8【典例6】(新课标全国卷)如图所示,长为l的细绳下方悬挂一小球A,绳的另一端固定在天花板上O点处,在
10、O点正下方34l的O处有一固定细铁钉.将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一小角度(约为2)后由静止释放,并从释放时开始计时.当小球A摆至最低位置时,细绳会受到铁钉的阻挡.设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正.下列图像能描述小球在开始的一个周期内的x-t关系的是() A B C D解析:由单摆的周期公式T=2lg可知,小球在钉子右侧时,振动周期为在左侧时振动周期的2倍,所以选项B、D错误.由机械能守恒定律可知,小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同,但由于摆长不同,小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同,当小球在右侧摆动时,最大水平位移较大,故选项A正确.答案:A【典
11、例7】如图所示,小球A是一单摆的摆球,点O为单摆的悬挂点.B是穿在一根较长细线上的小球,让单摆偏离竖直方向一很小的角度,在放手让A球向下摆动的同时,小球B从与O点等高处由静止开始下落.当A球摆到最低点时,B球也恰好到达与A同一水平面处.求B球下落时受到的细线的阻力大小与B球重力大小之比.(2=10.)解析:单摆的周期公式T=2lg,A球摆到最低点所用的时间t=(2n+1)T4(n=0,1,2,3,),由牛顿第二定律得,B的加速度a=mg-Ffm,运动学公式l=12at2,由以上式子解得Ffmg=20n2+20n+15(2n+1)2(n=0,1,2,3,).答案:20n2+20n+15(2n+1)2(n=0,1,2,3,)7