1、课时达标检测（四十五） 椭 圆练基础小题强化运算能力1已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2 B3 C4 D9解析：选B由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，所以25m216，解得m3或3.又m0，故m3.2在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(1,0)的距离与P到定直线x4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B设点P(x，y)，由题意知，化简得3x24y212，所以动点P的轨迹C的方程为1，故选B.3已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，且MNF1的周长为8，则椭圆C的
2、焦距为()A4 B2 C2 D2解析：选C由题意得|MF1|NF1|MN|MF1|NF1|MF2|NF2|(|MF1|MF2|)(|NF1|NF2|)2a2a8，解得a2，又e，故c，即椭圆C的焦距为2，故选C.4如图，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，F1PF2120，则a的值为()A2 B3 C4 D5解析：选B由题可知b22，则c，故|F1F2|2，又|PF1|4，|PF1|PF2|2a，则|PF2|2a4，由余弦定理得cos 120，化简得8a24，即a3，故选B.5椭圆1(ab0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的方程为_解析：由题意可知e，2b4，得b
3、2，解得椭圆的标准方程为1.答案：1练常考题点检验高考能力一、选择题1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是() A.1 B.1C.1 D.1解析：选D依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a29，b28.故椭圆C的方程为1.2椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2解析：选A由题意可得2|F1F2|AF1|F1B|，即4cacac2a，故e.3已知圆C1：x22cxy20，圆C2：x22cxy20，椭圆C：1(ab0)，若圆C1
4、，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，只需又b2a2c2，0.即椭圆离心率的取值范围是4已知椭圆1(ab0)上的动点到焦点的距离的最小值为1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.y21 D.1解析：选C由题意知ac1，又b1，由得a22，b21，故c21，椭圆C的方程为y21，故选C.5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距
5、离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2，所以e .因为1b2，所以0e.6已知F1，F2为椭圆C：1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点， 的最大值、最小值分别为()A9,7 B8,7 C9,8 D17,8解析：选B由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(1，0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，x21y2x218x2x27(3x3)，所以当x0时，有最小值7，当x3时，有最大值8，故选B.二、填空题7若椭圆的
6、方程为1，且此椭圆的焦距为4，则实数a_.解析：由题可知c2.当焦点在x轴上时，10a(a2)22，解得a4.当焦点在y轴上时，a2(10a)22，解得a8.故实数a4或8.答案：4或88点P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_解析：由题意知，|PF1|PF2|10，|F1F2|6，SPF1F2(|PF1|PF2|F1F2|)1|F1F2|yP3yP8，所以yP.答案：9已知椭圆1(ab0)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于_解析：在ABC中，由正弦定理得，因为点C在
7、椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.答案：310.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_ 解析：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，即b2ac，则a2c2ac，故210，即e2e10，e或e，又0e1，所以e1.答案：三、解答题11如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴
8、的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解：设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a，即a22.因为点C在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.结合b2a2c2，整理得a25c2.故e2.因此e(负值舍去)12.已知椭圆
9、E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率e.(2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB| |x1x2| 由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为x24y212，即1.