1、第一章 集合与函数的概念一、集合1集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性2常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集3集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一4集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合描述法：|具有的性质，其中为集合的代表元素图示法：用数轴或韦恩图来表示集合5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集不含有任何元素的集合叫做空集（），例如6子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或）A中的任一元素都属于B（1
2、）AA（2）（3）若且，则（4）若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）（2）若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A（1）AB（2）BA7已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集8交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3），并集或（1）（2）（3），补集 B A B C D例1设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）答案：A解析：简单列举两个集合的一些元素，易知BA，故答案选A另解：由，易知BA，故答案选A例2若集合，且，求实数的值解：由，因此，（i）若时，得，此时，；（
3、ii）若时，得 若，满足，解得故所求实数的值为或或点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“” ，因为时存在 从而需要分情况讨论 题中讨论的主线是依据待定的元素进行例3已知集合Aa，a+b，a+2b，Ba，ax，ax2 若AB，求实数x的值解：若a+ax22ax0， 所以a（x1）20，即a0或x1 当a0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x1时，集合B中的元素均相同，故舍去若2ax2axa0因为a0，所以2x2x10， 即（x1）（2x+1）0 又x1，所以只有经检验，此时AB成立 综上所述例4已知集合，且，求实数m的取值范围-2 4 m xB A 4 m x解：由，可得在数轴上表示集合A与集
4、合B，如右图所示：由图形可知，点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题例5已知全集，求， ，并比较它们的关系 解：由，则由，则，由，则，由计算结果可以知道，另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出结果点评：可用Venn图研究与，在理解的基础上记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题训练1设集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1（1）若BA，求实数m的取值范围；（2）当xZ时，求A的非空真子集个数；（3）当xR时，不存在元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围解: （1）当m12m1，即m2时，B，满足BA当m1
5、2m1，即m2时，要使BA成立，只需，即2m3综上，当BA时，m的取值范围是m|m3（2）当xZ时，A2，1，0，1，2，3，4，5，集合A的非空真子集个数为282254（3）xR，且Ax|2x5，Bx|m1x2m1，又不存在元素x使xA与xB同时成立，当B，即m12m1，得m2时，符合题意；当B，即m12m1，得m2时，或，解得m4综上，所求m的取值范围是m|m2或m4二、【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1含绝对值的不等式的解法不等式解集把看成一个整体，化成，型不等式来求解2一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根（其中无实根的解集或R的解集三、函数的概念与
6、性质1函数的概念（1）函数的概念，函数三要素（定义域、值域和对应法则，当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数）（2）区间: 闭区间x|axba，b， 开区间x|axb（a，b）；半开半闭区间x|axb， x|axb； ，例1 求下列函数的定义域：（1）；（2）解：（1）由，解得且，所以原函数定义域为（2）由，解得且，所以原函数定义域为例2 求下列函数的值域：（1）；（2）解：（1），所以值域为（2）令，则 ，根据二次函数的图像和性质得原函数的值域是例3 （1）已知函数，求的表达式 ；（2）已知函数满足，求的表达式解：（1）设，解得，所以，即（2）把中的替换成得，然后把和当作未
7、知数联立方程求解得点评：此题解法中突出了换元法的思想 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等例4 已知函数（1）求的值； （2）计算：解：（1）由（2）原式点评：对规律的发现，能使我们实施巧算 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键2函数的表示法（1）函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）（2）分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范
8、围的x，对应法则不同）（3）一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射记作“” 判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f例1已知f（x） ，求ff（0）的值解： ， f（0） 又 1， f（）（）3+（）32+，即ff（0）例2 （1）画出函数的图象；（2）用表示不超过x的最大整数，例如，当时，作出函数的图象 解：（1），所以，函数的图象如右图所示 （2）由题意当时，则，图像如右图点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函
9、数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象3函数的单调性和最大（小）值（1）增函数：设函数yf（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数 仿照增函数的定义可定义减函数（2）如果函数f（x）在某个区间D上是增函数或减函数，就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f（x）的单调区间在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如图1），减函数的图象从左向右是下降的（如图2）由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调
10、性（3）判断单调性的步骤：设x、x给定区间，且xx计算f（x）f（x） 判断符号下结论（4）最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有M或（M）；存在x0I，使得 M 那么，称M是函数的最大（小）值 （5）最值的求法：单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值（6）对勾函数：形如，如图，在上单调增，在上单调减，值域为 例1 求下列函数的单调区间：（1）；（2）； （3） 解：（1），其图象如右 由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数
11、（2），其图象如右由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数（3） ， 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示由图象得在上单调递增，在上单调递增例2 已知函数的最小值为，写出的表达式解：，所以对称轴为固定，而区间t，t+1是变动的，因此有（1）当t+1，即t时，h（t）f（t+1） ；（2）当时，；（3）当t t+1，即时， 综上可知 4函数的奇偶性（1）奇函数:，图形关于原点对称；偶函数：，图象关于y轴对称（2）判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系例1 已知是偶函数，时，求时的解析式解：当时，又由于是偶函数，则，所以，当时，例2 设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围解： 在区间上是减函数， 的图象在y轴左侧递减又 是奇函数， 的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减又 ，解得， 所以的图象在R上递减 ， ，解得本章整合