1、3.2简单的三角恒等变换学 习 目 标核 心 素 养1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法(重点)3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用(难点、易混点)1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算素养.2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理素养.3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模素养.1半角公式2辅助角公式asin xbcos xsin(x)(其中tan )1已知180360，则cos的值等于()AB.C D.C1803
2、60，90180，cos 0，故应选C.22sin 2cos ()Asin B2sinC2sin D.sinC原式222sin.3函数f(x)2sin xcos x的最大值为 f(x)sin(x)sin(x).4已知24，且sin ，cos 0，则tan的值等于 3由sin ，cos 0得cos ，tan3.化简求值问题【例1】(1)设56，cosa，则sin等于()A.B.C D(2)已知，化简：.思路点拨：(1)先确定的范围，再由sin2得算式求值(2)1cos 2cos2，1cos 2sin2，去根号，确定的范围，化简(1)D56，.又cosa，sin.(2)解原式.，cos0，sin0
3、，原式cos.1化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值提醒：已知cos 的值可求的正弦、余弦、正切值，要注
4、意确定其符号1已知sin ，求sin ，cos ，tan 的值解，sin ，cos ，且，sin ，cos ，tan 2.(另tan2.)三角恒等式的证明【例2】求证：sin 2.思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2不变，直接用二倍角正切公式变形证明法一：用正弦、余弦公式左边sincoscos sin cos sin 2右边，原式成立法二：用正切公式左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边，原式成立三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，
5、有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.2求证：.证明左边右边所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】若函数f(x)cos42sincossin4.(1)求f(x)的对称中心和初相；(2)若x0，求函数f(x)的单调递减区间解f(x)cos42sincossin4cos2sin2sincossinsin 2xcos 2xsin，(1)由2xk，kZ，可得x，kZ，f(x)的对称中心为，kZ
6、，又f(x)sinsin，f(x)的初相为.(2)由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ，f(x)的递减区间为：，kZ，又x0，f(x)的单调递减区间为，.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤3已知函数f(x)sin2sin2cos 2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的值域解f(x)sin2sin2cos 2x cos 2x sin 2x cos 2x2sin.(1)f(x)的最小正周期为；(2)由x，得2x，f(x)1,2即f(x)在区间上的值域为1,2.三角函数在实际问题中的应用探究问题1用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么
7、？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响2建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成yAsin(x)b的形式【例4】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？思路点拨：解设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsinR.0，l的最大值为RR(1)R，此时，即，即当时，OAB的周长最大1在本例条件下，求长方形面积的最大值解如图所示，设AOB，则ABRsin ，OARcos .设矩形ABCD的面积为S，则S2OAAB
8、，S2Rcos Rsin R22sin cos R2sin 2.，2(0，)因此，当2，即时，SmaxR2.这时点A，D到点O的距离为R，矩形ABCD的面积最大值为R2.2若本例中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值解如图，作POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设MOE，在RtMOE中，MERsin ，OMRcos ，在RtONH中，tan，得ONNHRsin ，则MNOMONR(cos sin )，设矩形EFGH的面积为S，则S2MEMN2R2sin (cos sin )R2(sin 2cos 2)2R2sinR2，由，则2，所以
9、当2，即时，Smax(2)R2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.(2)注意：在求解过程中，要注意三点：充分借助平面几何性质，寻找数量关系.注意实际问题中变量的范围.重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.1研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数a，b应熟练
10、掌握，例如sin xcos xsin；sin xcos x2sin等2常用的三角恒等变换思想方法(1)常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行我们把这种代换称为常值代换(2)切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan ，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称(3)降幂与升幂由C2变形后得到公式：sin2(1cos 2)，cos2(1cos 2)，运用它就是降幂反过来，直接运用倍角公式或变形公式1cos 22cos2，1cos 22sin2，就
11、是升幂(4)角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化常见的角的变换有：()，()，()()，()()，(2)等1下列叙述错误的是()A若k，kZ，则tan恒成立B若函数f(x)A1sin(x1)，g(x)A2sin(x2)(其中A10，A20，0)，则h(x)f(x)g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致C辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中所在的象限由a，b的符号决定，与点(a，b)同象限Dsin xcos x2sin.DA、B、C均正确，D应该是sin xcos x2sin.2(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在0，a是
12、减函数，则a的最大值是()A.B.C. DCf(x)cos xsin xcos.当x0，a时，x，所以结合题意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故选C.3函数f(x)sin2x的最小正周期为 因为f(x)sin2x，所以f(x)的最小正周期T.4.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，求cos 2.解由题意，得5cos 5sin 1，所以cos sin .由(cos sin )2(cos sin )22，所以cos sin ，所以cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin ).