1、第三章 函数的概念与性质章末复习课要点训练一函数的概念及表示函数有三要素:定义域、值域和对应关系,其中定义域是研究函数问题的前提条件.(1)函数的定义域问题,可分为三类:第一类是由使解析式有意义求函数定义域;第二类是抽象函数问题,如知道f(x)的定义域,求f(g(x)的定义域;第三类是应用问题,使自变量有实际意义的取值范围即为函数的定义域.(2)函数的值域问题,函数的值域是函数值的集合,它是由函数的定义域与对应关系确定的.(3)分段函数问题,先要确定自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应关系.1.若函数y=f(x)的值域是12,3,则函数F(x)=f(x)+1f(x)的值域是()A.12
2、,3B.2,103 C.52,103D.3,103解析:令t=f(x),则12t3,由函数g(t)=t+1t在区间12,1上是减函数,在区间1,3上是增函数,且G(12)=52,g(1)=2,g(3)=103,可得值域为2,103.答案:B2.(山东高考)设f(x)=x,0x1,2(x-1),x1,若f(a)=f(a+1),则f1a= ()A.2B.4C.6D.8解析:由x1时f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a1,则f(a)f(a+1),所以0a1.由f(a)=f(a+1),得a=2(a+1-1),解得a=14,则f(1a)=f(4)=2(4-1)=6,故选C.答案:C3.(江苏高考)函
3、数y=7+6x-x2的定义域是-1,7.解析:由已知,得7+6x-x20,即x2-6x-70,解得-1x7,故函数的定义域为-1,7.4.已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=-2.解析:将点(-1,4)代入f(x)=ax3-2x,得4=-a+2,解得a=-2.要点训练二函数的性质及应用本章主要学习了函数的单调性和奇偶性这两个基本性质,其中函数的单调性是研究函数的有力工具,利用单调性可以比较函数值的大小、求函数的值域和最值、作函数的图象等,它反映了函数值随自变量大小变化的情况.函数的奇偶性是函数图象对称性的表示.(1)比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性转化单调区间,再
4、利用单调性比较函数值的大小,例如幂函数中经常用直接法、转换法、中间量法比较大小.(2)函数的最值是函数值域的端点值,求最值与求值域的思路基本上是相同的,常用数形结合法、换元法、单调性法以及分离常数法等.1.(全国卷)函数f(x)在区间(-,+)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是() A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3解析:因为f(x)为奇函数,f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1f(x-2)1等价于f(1)f(x-2)f(-1).又因为f(x)在区间(-,+)上单调递减,所以-1x-21,所以1x3.答案:D2.(全
5、国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=12.解析:f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12.3.(浙江高考)已知aR,函数f(x)=ax3-x,若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,则实数a的最大值是43.解析:存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,即有|a(t+2)3-(t+2)-at3+t|23,整理得|2a(3t2+6t+4)-2|23,可得-232a(3t2+6t+4)-223,即23a(3t2+6t+4)43,由3t2+6t+4=3(t+1)2+11,可得实数a的最大值是43.4.已知函数f(x)=a
6、x+bx+c(a,b,c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=174.(1)求a,b,c的值;(2)试判断函数f(x)在区间(0,12)上的单调性,并证明.解:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以c=0.因为f(1)=52,f(2)=174,所以a+b=52,2a+b2=174,所以a=2,b=12.(2)由(1)可得,f(x)=2x+12x.f(x)在区间(0,12)上单调递减,证明如下:设x1,x2(0,12),且0x1x212,则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+12x1-12x2=2(x1-x2)+x2-x12x1x2=(x2-x1)(1-4
7、x1x2)2x1x2,因为0x1x20,0x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)=2x+12x在区间(0,12)上单调递减.要点训练三数形结合思想函数的图象是函数的重要表示方法,广泛应用于解题过程中,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够把函数重要的性质体现出来,由此可通过数形结合解决问题.数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象的思维和形象思维相结合,把问题灵活转化、化难为易、化抽象为具体、化数为形.1.(全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单
8、位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在78月D.各年16月的月接待游客量相对于712月,波动性更小,变化比较平稳解析:由折线图可知,每年89月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,A项错误;折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,B项正确;由折线图可知,每年的月接待游客量高峰期大致在78月,C项正确;每年16月的折线图平稳,月接待游客量波动性更小,712月折线图不平稳,月接待游客量波动性大,D项正确.所以选A.答案:A2.(全国卷)函数y=2x32x+2-x在区间-6,6
9、上的图象大致为()A B C D解析:设y=f(x)=2x32x+2-x,则f(-x)=2(-x)32-x+2x=-2x32x+2-x=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C.又因为f(4)=24324+2-40,排除选项D;f(6)=26326+2-67,排除选项A,故选B.答案:B3.已知定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若函数f(x)在区间(-1,a-2)上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)设x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.于是x0时,f(x)=x2+2x.所以f(x)=-x2+2x,x0,x2+2x,x0.(2)作出函数f(x)=-x2+2x,x0,x2+2x,x-1,a-21,解得1a3,故实数a的取值范围是(1,3.
