1、吉安一中2015-2016学年度下学期第一次段考高二数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1.复数（ ）A B C D2.已知，且，则的最大值是（ ）A B C4 D83.已知，则是的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C必要 D既不充分也不必要4下列参数方程（为参数）中，与方程表示同一曲线的是（ ）A. B C. D. 5.函数的定义域为，且对任意，则的解集为（ ）A B C D7.用反证法证明命题：“已知是自然数，若，则中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（ ）A至少有二个不小于2 B中至少有一个不小
2、于2 C都小于2 D中至少有一个小于28.若直线的参数方程为（为参数），则直线倾斜角的余弦值为（ ）A B C D9.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D10.设，为常数，则的最小值是（ ）A B C D11.已知抛物线（为参数）的焦点为，则点到的距离为（ ）A1 B2 C3 D412.设直线与双曲线的两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13.俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各
3、自解出的概率分别是，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是_14.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是_15.在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为_16.给出下列四个命题：命题“”的否定是“”；在空间中，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，如果，那么；将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；函数的定义域为，且，若方程有两个不同实根，则的取值范围为其中真命题的序号是_三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（满分10分）设函数（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为，试求的取值范围18.（满分12分）在直角坐标系中，直线的
4、参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求19.（满分12分）命题关于的不等式的解集是空集，命题已知二次函数满足，且当时，最大值是2，若命题“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围20.（满分12分）通过随机调查某校高三100名学生在高二文理分科是否与性别有关，得到如下的列联表：（单位：人）文理性别男女总计选理科402060选文科103040总计5050100（1）从这50名女生中按文理采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中文科生与理科生各多少人？（
5、2）从（1）中抽到的5名学生中随机选取两名访谈，求选到文科生、理科生各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“文理分科与性别”有关？21.（满分12分）已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由22.（满分12分）已知函数的图象在点处的切线方程为（1）用表示出；（2）若在上恒成立，求的取值范围；参考答案一、 选择题15ABCBB 610DCBDB 1112 DB二、填空题13 14 15 16三、解答题
6、17解：（1）由题设知：，在同一坐标系中作出函数和的图象，知定义域为（2）由题设知，当时，恒有，即，又由（1），18解：（1）由，得，即（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根所以，又直线过点，故由上式及的几何意义得19解：，解得，由已知得二次函数的对称轴为，即，当时，最大值是2，由对称性知关于的不等式的解集是空集，由命题“且”为假，“或”为真，知恰一真一假当真假时，当假真时，综上可得，20解：（1）文科生3人，理科生2人4分（2）设三名文科生分别为文1、文2、文3，两名理科生分别为理1、理2，则从中任选两人结果为（文1，文2）、（文1，文3）、（文1，理1
7、）、（文1，理2 ）、（文2，文3）、（文2，理1）、（文2，理2）、（文3，理1）、（文3，理2）、（理1，理2）共10种情况，其中一文一理的共6种8分21解：（1）则由题设可求得，2分又，则，所以椭圆的方程是4分（2）解法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理得5分设点的坐标分别为，则，因为及，所以8分当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点9分所以，解得，此时以为直径的圆恒过定点10分当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件12分解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为，若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，6分由，解得，由此可知所求点如果 存在，只能是7分事实上点就是所求的点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程并整理得8分设点的坐标为，则，因为，所以有，所以，即以为直径的圆恒定过点11分综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件12分22解：（1），则有，解得，（2）由（1）知，令，则， 当时，若，则是减函数，所以，即，故在上不恒成立当时，若，则是增函数，所以，即，故当时，综上所述，所求的取值范围为
