1、陕西省西安中学2021届高三数学下学期第二次仿真考试试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1若集合MxZ|sin（x）0，则（）AMNBMNCNMDMN2等比数列an的公比qi，其中为虚数单位，若a11+i，则a8（）A1+iB1iC1+iD1i3设，为两个平面，则的充要条件是（）A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面4已知函数f（x）（2x+2x）ln|x|的图象大致为（）ABCD5若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则实数a取值范围是（）A3，1B1，3C3，1D（，31，+）6函数yx3和存在公共点P（
2、x0，y0），则x0的范围为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）7某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A6B7C8D98已知是第二象限角，且tan，则sin2（）ABCD9等比数列an中，a11，a54a3，Sn为an的前n项和若Sm63，则m的值是（）A6B7C8D不存在10已知向量，则ABC的面积为（）A1B2C3D411甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A0.5B0.51C0.75D0.412双曲线C1：x2y21和抛物线C2：y22px相交于
3、点M，N，若OMN的外接圆经过点，则抛物线C2的方程为（）ABy23xCy2xDy24x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，若，则实数k 14若x，y满足约束条件目标函数zax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 15据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为 16如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 三、解答题：共
4、70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值182021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（）补全22列联表，并
5、根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望参考公式：K2，其中na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且ABAD，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2（1）求证：AM平面BEC；（2）求证：BC平面BDE
6、；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值20如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，1），离心率为l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y24于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D（）求椭圆C1的方程；（）求ABD面积取最大值时，直线l1的方程21已知函数f（x）（1）当a1，求函数yf（x）的图象在x0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z1，求证：+022在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为
7、极轴建立极坐标系（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率23已知a，b，c为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|（1）若abc1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合MxZ|sin（x）0，则（）AMNBMNCNMDMN解：MxZ|sin（x）0Z，x|x2k+1，kZ，NM，故选：C2等比数列an的公比qi，其中为虚数单位，若a11+i，则a8（）A1+
8、iB1iC1+iD1i解：等比数列an的公比qi，其中为虚数单位，若a11+i，则a8a1q7（1+i）i7（1+i）（i）1i，故选：D3设，为两个平面，则的充要条件是（）A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面解：对于A，内有无数条直线与平行，或；对于B，内有两条相交直线与平行，；对于C，平行于同一条直线，或；对于D，垂直于同一平面，或故选：B4已知函数f（x）（2x+2x）ln|x|的图象大致为（）ABCD解：f（x）（2x+2x）ln|x|（2x+2x）ln|x|f（x），则f（x）是偶函数，排除D，由f（x）0得ln|x|0得|x|1，即x
9、1或x1，即f（x）有两个零点，排除C，当x+，f（x）+，排除A，故选：B5若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则实数a取值范围是（）A3，1B1，3C3，1D（，31，+）解：直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点圆心到直线xy+10的距离为|a+1|23a1故选：C6函数yx3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）解：令f（x）x3，可知该函数为R上的增函数，函数yx3和存在公共点P（x0，y0），即x0为函数f（x）的零点，f（0）40，f（1）1210，f（2）23170，f（3）0，f（4）0，x0的范围为
10、（1，2），故选：B7某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A6B7C8D9解：当S1，k1时，应不满足退出循环的条件，故S，k2；当S，k2时，应不满足退出循环的条件，故S，k3；当S，k3时，应不满足退出循环的条件，故S，k4；当S，k4时，应不满足退出循环的条件，故S，k5；当S，k5时，应不满足退出循环的条件，故S，k6；当S，k6时，应不满足退出循环的条件，故S，k7；当S，k7时，应满足退出循环的条件，故整数a的值为6，故选：A8已知是第二象限角，且tan，则sin2（）ABCD解：是第二象限角，且tan，cos，sin，sin22sincos故选：C9等
11、比数列an中，a11，a54a3，Sn为an的前n项和若Sm63，则m的值是（）A6B7C8D不存在解：根据题意，等比数列an中，a11，a54a3，则q24，则q2，当q2时，若Sm63，则有63，解可得m6；当q2时，若Sm63，则有63，变形可得：（2）m168，无解；故m6；故选：A10已知向量，则ABC的面积为（）A1B2C3D4解：，所以 ，因为 ，所以 ，故ABC 的面积为 故选：A11甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A0.5B0.51C0.75D0.4解：设甲乙两人分别在第x
12、，y天到达某地，则0x10，0y10，他们会面的充要条件是|xy|3，则点（x，y）分布在如图所示的正方形OABC内，其基本事件S1为介于两条直线xy3之间的阴影内，所以所求概率为0.51故选：B12双曲线C1：x2y21和抛物线C2：y22px相交于点M，N，若OMN的外接圆经过点，则抛物线C2的方程为（）ABy23xCy2xDy24x解：由题意设M（x0，y0），N（x0，y0），T是MN与x轴的交点，因为O，M，N，A四点共圆，由相交弦定理可得：|OT|TA|MT|TN|，即x0（x0）y022px0，其中x00，可得x02p，y022px07p4p2，代入双曲线的方程：（2p）2（7p
13、4p2）21，即：32p284p+450，解得p（舍）或p，所以抛物线的方程为：y2x，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，若，则实数k解：由，得1（k6）9k0，解得k，故答案为：14若x，y满足约束条件目标函数zax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（4，2）解：可行域为ABC，如图，当a0时，显然成立当a0时，直线ax+2yz0的斜率kkAC1，a2当a0时，kkAB2a4综合得4a2，故答案为：（4，2）15据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5
14、000，则7月份的销售量为 6000解：作出函数 f（x） 的简图如图所示，三角函数模型为：f（x）Asin（x+）+B，由题意知：A2000，B7000，T2（93）12，所以，当x3时，y取最大值，所以 ，kZ，0+2k，kZ，故 ，故7月份的出厂价格为6000元故答案为：600016如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 1解：根据圆锥的侧面展开图：得知：OAOB4，AB4，所以OA2+OB2AB2，故AOB，设圆锥的底面半径为r，利用42r，解得r1故答案为：1
15、三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值解：（1）由题意可得 +sin2x4sin2x，cos2x+sin2x1，由，可得 4sin2x1，即sin2xx0，sinx，即x（2）函数（sinx，sinx）（cosx，sinx）sinxcosx+sin2xsin2x+sin（2x）+ x0，2x，当2x，sin（2x）+取得最大值为1+182021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式
16、“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（）补全22列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望参考公式：K2，其中na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0
17、2.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（）根据题意补全列联表，如下：选考物理选考历史总计男生401050女生302050总计7030100计算K24.7623.841，所以有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（）根据题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X服从二项分布，由题意知，学生选考历史的概率为，且XB（3，），计算P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），所以X的分布列为：X0123P计算数学期望为E（X）319如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且ABAD，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF
18、翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2（1）求证：AM平面BEC；（2）求证：BC平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，MNCD，且MNCD由已知ABCD，ABCD，四边形ABMN为平行四边形BNAM又BN平面BEC，且AM平面BEC，AM平面BEC（2）在正方形ADEF中，EDAD，又平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，ED平面ABCD，EDBC，在直角梯形ABCD中，ABAD1，CD2，得BC在BCD中，BDBC，CD2，BD2+BC2C
19、D2，BCBDEDBDD，BC平面BDE解：（3）作DH平面BEC于点H，连接CH，则DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BCBE，BCBD，SBCD，又ED平面ABCD，DH，sinCD与平面BEC所成角的正弦值为20如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，1），离心率为l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y24于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D（）求椭圆C1的方程；（）求ABD面积取最大值时，直线l1的方程解：（）因为椭圆的一个顶点为P（0，1），则b1，又离心率为，则，结合c2a2b2，解得a2，b1，所以椭圆的方程是；（）因为直线l1l2，且都过点
20、P（0，1），则设直线l1：ykx1，即kxy10，直线l2：，故圆心（0，0）到直线l1的距离为，所以直线l1被圆x2+y24所截的弦，联立方程组，所以，故，所以，当且仅当时等号成立，此时直线l1的方程为21已知函数f（x）（1）当a1，求函数yf（x）的图象在x0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z1，求证：+0【解答】（1）解：当a1时，f（x），则f（0）0，f（x），f（0）1，函数yf（x）的图象在x0处的切线方程为yx； （2）解：函数f（x）在（0，1）上单调递增，ax+10在（0，1）上无解
21、当a0时，ax+10在（0，1）上无解满足当a0时，只需1+a0，1a0 f（x）函数f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）0在（0，1）上恒成立即a（x+1）ln（x+1）x1在（0，1）上恒成立设h（x）（x+1）ln（x+1）x，则h（x）ln（x+1），x（0，1），h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递增h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln21）a在（0，1）上恒成立，a综合得实数a的取值范围为1，（3）证明：由（2）知，当a1时，f（x）在（0，1）上单调递增 于是当0x时，f（x）f（）当x1时，f（x）f（） （3x1）f（x）（3x1），即（3x1），同理有（3y1
22、），（3z1），三式相加得：+0 22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率解：（1）曲线E的参数方程为（a为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y4）210，根据，转换为极坐标方程为28sin+60，直线l的参数方程为（t为参数，0），转换为极坐标方程为；（2）将直线极坐标方程为代入28sin+60，得到28sin+60，所以1+28sin，126，由于，故，即231，所以，所以，所以直线的斜率
23、k123已知a，b，c为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|（1）若abc1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc解：（1）因为abc1，所以f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|2|x+1|+|x1|，法1：由上可得：所以，当x1时，函数f（x）的最小值为2；法2：f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|x+1|+|x+1|+|x1|x+1|+|x+1x+1|2+|x+1|2，当且仅当，即x1时取得最小值2；证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，即证明就行了，法1：因为2+2+22（a+b+c），当且仅当abc时取等号又因为f（0）1即 a+b+c1且a，b，c不全相等，所以，即，法2：因为（a+b+c）（+）1，当且仅当取等号，又因为f（0）1即 a+b+c1且a，b，c不全相等，所以，即