1、函数的基本性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值强化训练（学生版）1、已知函数yf(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2R，“x1x2”是“f(x1)0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数4、设函数f(x)在(，)内有定义，下列函数必为奇函数的是()Ay|f(x)| Byxf(x2)Cyf(x)Dyf(x)f(x)5、(2022青岛模拟)已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)()A21B21C26D266、(2022白银模拟)已知f(x)ax2x(a2)为奇函数，则“m0”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必
2、要条件7、(2022大庆月考)已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)0的解集为()A(5，2)(0，)B(，5)(0,1)C(3,0)(3，)D(5,0)(1，)14、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x1)都为奇函数，则()Af(x1)为奇函数Bf(x)为周期函数Cf(x3)为奇函数Df(x2)为偶函数15、已知函数f(x)在区间1，a2上单调递增，则实数a的取值范围为_16、(2022广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，则当x(，0)时，f(x)_17、已知实数a，b满足(a1)5(b3)52 020(1a)32 0
3、20(3b)3，则ab_18、设函数yf(x)的定义域为R，则下列命题：若yf(x)是偶函数，则yf(x2)的图象关于y轴对称；若yf(x2)是偶函数，则yf(x)的图象关于直线x2对称；若f(x2)f(2x)，则函数yf(x)的图象关于直线x2对称；yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x2对称其中正确命题的序号为_19、已知函数f(x)满足：f(0)0；在1,3上是减函数；f(1x)f(1x)请写出一个满足以上条件的f(x)_20、(2022杭州模拟)探究函数f(x)x，x(0，)的图象时，列表如下：x0511517192y85541740540054x212223347y4005402
4、404435757观察表中y值随x值的变化情况，完成以下的问题：(1)求函数f(x)x(x0)的递减区间及递增区间；(2)若对任意的x1,3，f(x)m1恒成立，试求实数m的取值范围21、(2022重庆模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式22、设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积23、(1)已知函数f(x)，xR，若a，bR，都有f(ab)f(a)f
5、(b)，求证：f(x)为奇函数；(2)已知函数f(x)，xR，若x1，x2R，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数；(3)设函数f(x)定义在(l，l)上，证明：f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数24、(2022柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)1；当x0时，f(x)1(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)425、已知a3，函数F(x)min2|x1|，x22ax4a2，其中minp，q(1)求使得等式F(x)x22ax4a
6、2成立的x的取值范围；(2)求F(x)的最小值m(a)；求F(x)在区间0,6上的最大值M(a)函数的基本性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值强化训练（解析版）1、已知函数yf(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2R，“x1x2”是“f(x1)f(x2)”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：C当x1x2时，因为函数yf(x)是R上的增函数，所以f(x1)f(x2)，所以“x1x2”是“f(x1)f(x2)”的充分条件；当f(x1)f(x2)时，因为函数yf(x)是R上的增函数，所以x1x2，所以“x1x2”是“f(x1)f(x2)”的必要条件综上得
7、“x1x2”是“f(x1)0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数解析：Bx0，f(x)x2220，当且仅当x，即x1时取等号，f(x)有最小值，又由对勾函数的图象可知f(x)在(0，)上不具有单调性故选B4、设函数f(x)在(，)内有定义，下列函数必为奇函数的是()Ay|f(x)| Byxf(x2)Cyf(x)Dyf(x)f(x)解析：B对A，y|f(x)|中，|f(x)|与|f(x)|不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对B，yg(x)xf(x2)中，因为g(x)xf(x)2xf(x2)g(x)，所以函数为奇函数，故正确；对C，yf(x)中，f(x)与f(x)不一定相
8、等，故不一定为奇函数，故错误；对D，yf(x)f(x)为偶函数，故错误故选B5、(2022青岛模拟)已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)()A21B21C26D26解析：B设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函数由题设可得f(3)g(3)85，得g(3)13又因为g(x)为奇函数，所以g(3)g(3)13，于是f(3)g(3)8138216、(2022白银模拟)已知f(x)ax2x(a2)为奇函数，则“m0”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：B因为f(x)ax2x(a2)为奇函数，所以f(x)f(x)0，ax2xa
9、x2x0，(ax2x)0恒成立，(2a)x1，a，f(x)2x2x为R上的减函数，且f(0)0，所以f(m)0时，m0，因此“m0”的充分不必要条件故选B7、(2022大庆月考)已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(13x)，则x的取值范围是()ABCD(1，)解析：A由题意，函数f(x)是定义在1,1上的增函数，因为f(x1)f(13x)，可得解得0x，所以x的取值范围是故选A8、(2022湖北高三月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(，0上单调递减，若f(2)1，则满足|f(2x)|1的x的取值范围是()A1,1B2,2C(，11，)D(，22，)解析：A根据奇函数的性质
10、，得f(x)在R上单调递减，且f(2)1由|f(2x)|1，得1f(2x)1，即f(2)f(2x)f(2)，所以22x2，解得1x1，故选A9、(多选)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是()Ay在R上为减函数By|f(x)|在R上为增函数Cy在R上为增函数Dyf(x)在R上为减函数解析：ABC对于A，若f(x)x，则y，在R上不是减函数，错误；对于B，若f(x)x，则y|f(x)|x|，在R上不是增函数，错误；对于C，若f(x)x，则y，在R上不是增函数，错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2R，设x1x2，必有f(x1)0，则yf(x)在R上为减函数，
11、正确故选A、B、C10、(多选)已知函数f(x)x22x1的定义域为(2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是()A(，1)B(3，1)C(0,1)D(1,3)解析：BC因为函数f(x)x22x1的定义域为(2,3)，对称轴为直线x1，开口向下，所以函数f(|x|)满足2|x|3，所以3x0的解集为()A(5，2)(0，)B(，5)(0,1)C(3,0)(3，)D(5,0)(1，)解析：D因为定义在R上的偶函数f(x)满足在0，)内单调递增，所以f(x)满足在(，0)内单调递减，又f(3)0，所以f(3)f(3)0作出函数f(x)的草图如图，由0，得0，得0，所以或所以或解得x1或5x0的
12、解集为(5,0)(1，)故选D14、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x1)都为奇函数，则()Af(x1)为奇函数Bf(x)为周期函数Cf(x3)为奇函数Df(x2)为偶函数解析：ABC由题意知：f(x1)f(x1)0且f(x1)f(x1)0，f(1x)f(1x)，即f(x1)f(x1)，可得f(x)f(x2)，f(x)是周期为2的函数，且f(x1)，f(x2)为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f(x1)f(x3)，即f(x3)为奇函数，C正确故选A、B、C15、已知函数f(x)在区间1，a2上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：由分段函数解析式知：f(x)在(，1)和
13、(1，)上单调递减，在1,1上单调递增，由f(x)在1，a2上单调递增，得10)的递减区间及递增区间；(2)若对任意的x1,3，f(x)m1恒成立，试求实数m的取值范围解：(1)由表中y值随x值的变化情况可得函数f(x)x(x0)的递减区间是(0,2)，递增区间是(2，)(2)由表中y值随x值的变化情况可得当x1,3时，f(x)minf(2)4，所以要使对任意的x1,3，f(x)m1恒成立，只需f(x)minf(2)4m1，解得m3，故m的取值范围为(，321、(2022重庆模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2(1)求证：f
14、(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即当x2,4时，f(x)x26x822、设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，所以f()
15、f(14)f(4)f(4)(4)4(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4423、(1)已知函数f(x)，xR，若a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数；(2)已知函数f(x)，xR，若x1，x2R，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数；(3)设函数f(x)定义在(l，l)
16、上，证明：f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数证明：(1)令a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0令ax，bx，则f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)令x10，x2x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)，令x20，x1x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)，由得f(x)f(x)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，f(x)是偶函数(3)x(l，l)，x(l，l)可见，f(x)的定义域也是(l，l)设F(x)f(x)f(x)，G(x)f(x)f(x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(l，l)，显然是关于原点对称的F(x)f(x)f(x)f(x
17、)f(x)F(x)，G(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)G(x)，F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即当x2,4时，f(x)x26x824、(2022柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)1；当x0时，f(x)1(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4解：(1)令xy0，得f(0)1在R上
18、任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1，所以f(x1)f(x2)f(x1x2)10，所以f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5由f(x22x)f(1x)4，得f(x22x)f(1x)15，即f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x125、已知a3，函数F(x)min2|x1|，x22ax4a2，其中minp，q(1)求使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围；(2)求F(x)的最小值m(a)；求F(x
19、)在区间0,6上的最大值M(a)解：(1)由于a3，故当x1时，x22ax4a22|x1|x22(a1)(2x)0，不合题意；当x1时，x22ax4a22|x1|(x2)(x2a)由(x2)(x2a)0得2x2a所以使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围为2,2a(2)设函数f(x)2|x1|，g(x)x22ax4a2，则f(x)minf(1)0，g(x)ming(a)a24a2，由F(x)的定义知m(a)minf(1)，g(a)，即m(a)当0x2时，F(x)f(x)maxf(0)，f(2)2F(2)，当2x6时，F(x)g(x)maxg(2)，g(6)max2,348amaxF(2)，F(6)所以M(a)