1、第四节二次函数与幂函数【最新考纲】1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在上减在上增在上增在上减对称性函数的图象关于x对称2.幂函数(1)定义：形如yx
2、(R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，是常数(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)函数y2x是幂函数()(4)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()答案：(1)(2)(3)(4)2已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()Af(x)x2Bf(x)x2Cf(x)x Df(x)x解析：设f(x)x，则有3，即33，1，2，f(x)x2.答案：B3(2016佛山模拟)若f(x)(xa)(x4)为偶函数，
3、则实数a_解析：f(x)x2(a4)x4a，由f(x)是偶函数知a40，所以a4.答案：44(2015张家口模拟)已知函数h(x)4x2kx8在5，20上是单调函数，则k的取值范围是_解析：函数h(x)的对称轴为x，要使h(x)在5，20上是单调函数，应有5或20，即k40或k160.答案：(，40160，)5若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_解析：由，解得m1或2.经检验m1或2都适合答案：1或2一个核心二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次 ”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的
4、问题，充分利用二次函数的图象是探求解题思路的有效方法一个结论ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是一个特征幂函数yx(R)图象的特征0时，图象过原点和(1，1)，第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，过(1，1)，第一象限的图象下降，反之也成立两种方法函数yf(x)对称轴的判断方法1对于二次函数yf(x)，如果对定义域内所有x都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称2对于二次函数yf(x)，如果对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)一、选择题1(2016孝感调研)函
5、数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1 B2C3 D1或2解析：f(x)(m2m1)xm是幂函数m2m11m1或m2.又f(x)在(0，)上是增函数，所以m2.答案：B2(2016济南外国语学校期中)已知1，1，2，3，则使函数yx的值域为R，且为奇函数的所有的值为()A1，3 B1，1C1，3 D1，1，3解析：因为函数为奇函数，故的可能值为1，1，3.又yx1的值域为y|y0，yx，yx3函数的值域都为R.所以符合要求的的值为1，3.答案：A3已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图象可能是()解析：由abc0，abc知a0，c0，
6、则0，排除B、C.又f(0)c0，所以也排除A.答案：D4如果函数f(x)x2bxc对任意的x都有f(x1)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(0)f(2)f(2)解析：由f(1x)f(x)知f(x)的图象关于直线x对称，又抛物线f(x)开口向上，f(0)f(2)f(2)答案：D5若关于x的不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba2Ca6 Da6解析：不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1，4)，所以g(x)g(4)2，所以
7、a2.答案：A6已知函数yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B.C. D1解析：当x0时，x0，f(x)f(x)(x1)2，x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.mn的最小值是1.答案：D二、填空题7(2016南昌二模)已知幂函数yf(x)的图象过点A(8，2)，则f等于_解析：因为幂函数yx的图象过点A(8，2)，所以28，所以，即f(x)x，是奇函数所以ffff(8)f(8)2.答案：27已知P2，Q，R，则P、Q、R的大小关系是_解析：P2，根据函数yx3是R上的增函数且，得，即P
8、RQ.答案：PRQ9(2016西安二模)若方程x2ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则的取值范围是_解析：令f(x)x2ax2b，方程x2ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，根据约束条件作出可行域，可知1.答案：三、解答题10已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN*)，经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解：幂函数f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.f(x)x，则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数由f(2a)f(a1)得解得1a.a的取值范围为.11已知函数f(x)x2(2a1)x3，(1)当a2，x2，3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1，3上的最大值为1，求实数a的值解：(1)当a2时f(x)x23x3，x2，3，对称轴x2，3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，值域为.(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意综上可知a或1.