1、2019-2020学年重庆一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1. 已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于A. 6B. 4C. 3D. 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则b等于A. B. 6C. D. 93. 若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为A. B. 2C. 3D. 4. 已知直线：与：平行，则与的距离为A. B. C. D. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，且，则A. 2B. C. 4D. 6. 椭圆上一点M到左焦点的距离是2，N是的中点，O为坐标原点，则的值为A. 4B. 8C. 3D. 27. 已知双曲线方程为，则以点
2、为中点的双曲线的弦所在的直线方程为A. B. C. D. 8. 若圆C：与圆E：有公共点，则r的范围A. B. C. D. 9. 若点O与点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 A. 2B. 3C. 6D. 810. 过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点在B的上方，且l与准线交于点C，若，则A. 2B. C. 3D. 11. 设是双曲线的一个焦点，是C的两个顶点，C上存在一点P，使得与以为直径的圆相切于Q，且Q是线段的中点，则C的渐近线方程为A. B. C. D. 12. 设A，B分别是双曲线的左右顶点，设过的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，
3、N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的于S，T两点，且，则的面积A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 已知1，2，且，则_14. 已知定点，点P是圆上的动点，则AP的中点C的轨迹方程_15. 在正方体中，E分别为的中点，则AE与所成角的余弦值为_16. 设抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若，则直线l的方程为_三、解答题（本大题共6小题）17. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求A若，求的面积18. 如图，在三棱柱中，底面，点E，F分别为与AB的中点证明：平面；求与平面AEF所成角
4、的正弦值19. 已知过点的圆M的圆心为，且圆M与直线相切求圆M的标准方程；若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，点E为棱PC的中点证明：；求BE的长；若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值21. 设抛物线C：的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点求抛物线C的方程；若直线与抛物线C交于R，S两点，点N为曲线E：上的动点，求面积的最小值22. 已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为，离心率为求椭圆C的方程；如图，过点的动直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率为，A为椭圆上
5、的一点，直线OA的斜率为，且，B是线段OA延长线上一点，且过原点O作以B为圆心，以为半径的圆B的切线，切点为令，求取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：等差数列的公差d为2，且是与的等比中项，可得，即，则，故选：B运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题2.【答案】C【解析】解：，由正弦定理，可得故选：C由已知利用正弦定理即可求解b的值本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查双曲线的性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公
6、式根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解【解答】解：双曲线的渐近线方程为，即，离心率故选D4.【答案】D【解析】解：直线：与：平行，可得，则由两平行直线的距离公式可得，则与的距离为，故选：D直线：与：平行，即可得到a，然后利用平行线之间的距离公式求解即可本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题5.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查准线方程的运用，注意定义法解题，属于基础题抛物线C：的准线方程为，由抛物线的定义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，解方程即可得到所求值【解答】解：抛物线C：的准线方程为，由抛物线的定
7、义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，即有，可得，解得，解得故选：D6.【答案】A【解析】解：根据椭圆的定义得：，由于中N、O是、的中点，根据中位线定理得：，故选：A首先根据椭圆的定义求出的值，进一步利用三角形的中位线求得结果本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理7.【答案】A【解析】解：以点为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为，可得，相减可得，且，则弦所在直线的斜率，可得弦所在的直线方程为，即为故选：A设弦的端点的坐标分别为，代入双曲线的方程，作差，结合平方差公式和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得弦所在直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程本题考查双曲线
8、的方程和运用，考查点差法求直线方程，以及化简运算能力，属于基础题8.【答案】C【解析】解：圆C方程为：，圆心，半径为r，圆E方程为：，圆心，半径，圆C：与圆E：有公共点，即，解得：，故选：C先求出两圆的圆心和半径，因为两圆有公共点，所以圆心距大于等于两半径差的绝对值小于等于两半径之和，列出不等式即可求出r的取值范围本题主要考查了圆与圆的位置关系，是基础题9.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值，考查了综合应用能力、运算能力，属于中档题先求出左焦点坐标F，设，根据在椭圆上可得到、的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将、的关
9、系式代入组成二次函数进而可确定答案【解答】解：由题意，设点，则有，解得，因为，所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，故选：C10.【答案】A【解析】解：根据题意，设，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有，若，则有，即，又由，则有，即有，变形可得，即，故选：A根据题意，设，作AM、BN垂直准线于点M、N，由分析可得，又由平行线的性质分析可得，即可得，变形可，即可得答案本题考查抛物线的几何性质，注意利用平行线的性质得到，考查运算能力，属于中档题11.【答案】C【解析】解：由于O为的中点，Q为线段的中点，则由中位线定理可得，由与以线段为直径的圆相切于点Q，则，由双曲线的
10、定义可得，即有，由，由勾股定理可得，即，则，即的渐近线方程为故选：C运用中位线定理，可得，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则C的渐近线方程可求本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题12.【答案】A【解析】解：双曲线的左右顶点为，可得直线PA的方程为，PB的方程为，联立可得，解得或，代入可得，即有，联立可得，解得或，代入，可得，即，设，由M，N，Q三点共线，可得，即有，将M，N的坐标代入化简可得，解得，即，设过Q的直线方程为，联立双曲线方程，可得，设，可得，恒成立，可得，代
11、入韦达定理可得，解得，可得故选：A求得双曲线的左右顶点，设出直线PA，PB的方程，联立双曲线的方程，求得M，N的坐标，设，运用M，N，Q三点共线的条件，以及向量共线的条件，求得，设过Q的直线方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，计算可得所求值本题考查双曲线的方程和性质，直线方程和双曲线方程联立，求交点和运用韦达定理，考查直线恒过定点，以及三角形的面积的求法，考查化简运算能力，属于难题13.【答案】解：，且，解得，故1，2，故答案为：【解析】由垂直可得数量积为0，进而可得x值，可得向量的坐标，由模长公式可得本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的垂直和模长的求解，属基础题14.【答
12、案】【解析】解：设，由题意知：，化简得，故C的轨迹方程为故答案为：设，列出方程组，消去参数，即可得到C的轨迹方程本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力15.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则0，2，2，0，2，设AE与所成角为，则，与所成角的余弦值为故答案为：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16.【答案】【解析】解：抛物
13、线的焦点为，准线方程为，若，可得，即有，可得AB的中点M的纵坐标为，设，则，过F的直线l的方程设为，代入抛物线的方程可得：，即有，解得，所以直线l的方程为故答案为：求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由抛物线的定义求得P的坐标，得到AB中点M的纵坐标，设直线l为，代入抛物线的方程消去x，利用根与系数的关系求得k的值即可本题考查了抛物线的定义、方程和性质应用问题，也考查了中点坐标公式和直线与抛物线位置关系应用问题，是中档题17.【答案】解：由利用正弦定理可得：，即，可得，由余弦定理可得：，可得：，化为：，解得：，【解析】由利用正弦定理可得：再利用和差公式、三角函数求值即可得出由余弦定理可得：，化简解
14、得可得本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】解：证明：如图，连接，在三棱柱中，E为的中点又因为F为AB的中点，所以；又平面，平面，所以：平面解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则0，4，0，2，所以，0，2，设平面AEF的法向量为y，则且，令，得0，记与平面AEF所成，则【解析】连接，利用中位线性质即可得证；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，再带入公式即可求解本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置
15、关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题19.【答案】设圆M的标准方程为：，则圆心M到直线的距离为，由题意得，解得或舍去，所以，所以圆M的方程为设直线l的方程为，则圆心M到直线l的距离为，又点到直线l的距离为，解得，则直线的方程为【解析】根据题意设出圆的方程：，因为圆M与直线相切，得，求出a，r进而得出圆的标准方程求出，及点P到直线l的距离，表示出，求出斜率k，进而得出直线方程本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20.【答案】证明：底面ABCD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为
16、z轴，建立空间直角坐标系，由题意0，0，2，1，2，1，0，解：1，的长为解：，2，由点F在棱PC上，设，解得，设平面FBA的法向量为，则，取，得，取平面ABP的法向量1，则二面角的平面角满足：，二面角的余弦值为【解析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出1，0，由，能证明由1，能求出BE的长由，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角的余弦值本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题21.【答案】解：由题意得，圆的半径
17、，解得：故抛物线的方程为设点，由直线l过抛物线的焦点，联立得，故，所以，由点N为曲线E上一点，设点，点N到直线l的距离，由，故当且仅当，即时，取等号，所以，又面积：，故面积的最小值为【解析】由题意得，解得：，得到抛物线方程设点，由直线l过抛物线的焦点，通过联立方程组结合韦达定理，推出，由点N为曲线E，设点，点N到直线l的距离利用基本不等式转化求解即可本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力22.【答案】解：依题，解得，椭C的方程为；由已知可得直线l的方程为：，与椭圆C：联立，得，由题意，设，则，弦，OA所在直线方程为，与椭C：联立，解得，令，则，则，得到，令，由知，换元得：，其中【解析】依题，结合离心率求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；由已知可得直线l的方程，与椭圆C：联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦，写出OA所在直线方程，与椭C：联立求得，得到，利用换元法求得的范围，把转化为含的代数式求解本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题