1、数学答案 第1 页(共6页)神州智达省级联测20212022第六次考试高三数学参考答案题号123456789101112答案DCBCBDCAACACDBCDACD1.D 解析:A=x|-12x4,AB=0,1,2,3,AB 的真子集个数为24-1=15,故选 D.命题意图 该试题考查指数函数及其性质,集合的运算,是高考必考内容.数学素养方面主要考查数学运算以及整合思想.2.C 解析:设z=x+yi(x,yR),zz=x2+y2,即x2+y2+x+yi=6+2i,y=2,x2+x=2,x=-2或1,故选 C.命题意图 该试题考查复数及其运算,是高考必考内容,其内容涉及复数的模、共轭复数、复数相等
2、,一元二次方程、复数的乘法等知识点.数学素养方面主要考查方程思想及运算思维.3.B 解析:由已知S7=(a1+a7)72=7a4=49,a4=7,d=a5-a4=2,故选 B.命题意图 该试题考查等差数列基本量的计算,是高考热点题目.数学素养方面主要考查数学运算.4.C 解析:当x1时,12 x12x,考查函数y=12 x与y=12x 的图象,它们只有一个交点 1,12 ,此时不等式成立;当-1x0)=P(x 2-2)=P(2-2x 2+2)+P(x 2+2)=0.682 7+12(1-0.682 7)=0.841 35,故选 B.命题意图 该试题考查统计知识,内容涉及正态分布、数学文化、对称
3、性与最值等,是高考常考题目.数学素养方面主要考查综合分析思想与运算思维.6.D 解析:3a+3b=6a+b2 3a+b,6a+b43a+b,2a+b4,a+b2,a2+b212(a+b)2=2,当且仅当a=b 时等号成立,故选 D.命题意图 该试题考查指数运算与基本不等式,是高考常考点,其内容涉及指数运算、指数函数的单调性、基本不等式的变形应用等.数学素养方面主要考查辩证思维与创造性思维.7.C 解析:由已知f(x)的最大值或最小值为0,2-2=0或-2-2=0,解得=2,f x =数学答案 第2 页(共6页)4sin 2x+23 4,所以f x =8cos 2x+23 ,所以f x 的最大值
4、为8,最小值为-8,并根据三角函数的解析式可得f x 的最小正周期为,故 ABD 正确;由三角函数的性质知,当=-2时,f(x)在-712,-12上不是单调递增的,故选 C.命题意图 该试题考查三角函数的图象与性质,内容涉及三角函数的最大最小值、周期、单调性、三角函数的导数与最值等,是高考必考点.数学素养方面考查分类讨论思想、数形结合思想以及运算思想.8.A 解析:设P(x0,y0),A(x1,y1),B(-x1,-y1),x20a2+y20b2=1,x21a2+y21b2=1 相减整理得y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=-b2a2,即kPA kPB=-b2a2=-12,tan tan
5、=-12,cos(+)cos(-)=cos cos-sin sin cos cos+sin sin=1-tan tan 1+tan tan=3,cos(-)=-16,故选 A.命题意图 该试题考查椭圆及其性质,是高考必考点,该题涉及椭圆的离心率、点差法、两角和与差的余弦公式、切化弦以及椭圆上任意一点与椭圆上关于原点对称的两点斜率之积为常数等知识点.数学素养方面考查逻辑推理与发散思维.9.AC 解析:由内积公式显然 A 成立;由向量减法的几何意义以及三角形两边之差小于第三边知 B 不成立;由向量的运算知 C成立;向量(a+b)(a2-ab+b2)表示的是与向量a+b 方向相同或相反的向量,而向量
6、a3+b3 与向量a+b 的方向不一定共线,故 D 不成立.故选 AC.命题意图 该试题考查向量的内积公式及其意义、向量减法的几何意义,向量是高考必考点之一.数学素养方面主要考查知识的拓展、数学运算等.10.ACD 解析:当a=1 时,f(x)=lg(x+x2+1)是奇函数,故 A 正确;对于 B,y=x2 是偶函数,f(x)=x2+ax 不可能是奇函数;对于 C,由f(-x)=-f(x)可解得a=-4,故 C正确;对于 D,当a=1时,f(x)=x ln(ex+1)-x2=xln(ex+e-x)是奇函数.故选 ACD.命题意图 该试题考查函数的奇偶性,是高考热点,主要是从常见的几个奇偶函数入
7、手,对其变形的判断.数学素养方面主要是特值思想与归纳思维.11.BCD 解析:当t=0时,|PA|=5,故 A 不正确;当t=2时,|PC|=13,|PA|=3,四边形 PACB 的面积S=2SPAC=6,B 正 确;当 APB=60时,APC=30,PC=4,t=7,C 正 确;对 于 D,当|MN|最小时,NC 与N 点处的切线垂直,即 1x0y0-3x0=-1,即x20+ln x0-3=0,令f(t)=t2+ln t-3,f(2)0,故 D 正确.故选 BCD.命题意图 该试题考查圆及其切线、对数函数的切线、导数、函数的零点、轨迹等问题,是高考热点,该题综合性比较强.数学素养方面主要考查
8、数形结合思想、方程思想和逻辑推理能力.12.ACD 解析:由VA-BCD=VH-ABC+VH-ABD+VH-ACD 得h1+h2+h3=63a,故 A 正确;由 A 知 63a=2 2,a=2 3,V=212a3=2 6,B不正确;当 H 是中心时,h1=h2=h3,故 C 正确;对于 D 选项,显然SHCD=13SBCD,则 SHBC+SHBD=23SBCD=2SHCD,设 H 到BC,CD,DB 的距离为d1,d2,d3,d1+d3=2d2,又因为平面 ABC、平面 ACD、平面 ABD 与平面BCD 所成角相等,h1+h3=2h2,故选 ACD.数学答案 第3 页(共6页)命题意图 该试
9、题考查立体几何中的等体积转化、等面积转化、二面角、几何体体积、几何体体积拆分及等差数列与等比数列,是高考热点内容.考查的数学素养有从一般到特殊思想、数形结合、类比思想等.13.23 解析:由已知展开式的常数项为 C36a3=60,a=33,log3a=23.命题意图 该试题考查二项式定理及对数的运算,是高考必考内容.数学素养方面考查数学运算、方程思想、以及发散思维等.14.-210 解析:sin 2=2tan 1+tan2=-45,cos 2=1-tan 21+tan2=35,sin2+4 =22sin 2+22cos 2=-210.命题意图 该试题考查同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角
10、公式,该部分内容是高考必考内容,该题综合了三角函数的众多知识点.数学素养方面考查了换元思想、化归思想、分析与综合思想等.15.2 6 解析:设母线长为l,半径为r,侧面展开图的圆心角为,l=3r,则2r=l,=23.9=3l,l=3 3,r=3,h=27-3=2 6,V=13r2h=2 6.命题意图 该试题考查圆锥的侧面展开图、体积、弧长、沿侧面行走的最短距离问题等,该知识点是高考常考内容.数学素养方面考查学生的发散思维、整合思维、运算思维等.16.1,+2 解析:注意到y=12 t是减函数,y=x2-ax+b 在-,12 上单调递减,而y=x2-ax+b 的递减区间是-,a2,a212,a1
11、.f(x)=12 x2-ax+b的最大值为2,y=x2-ax+b=x-a2 2+b-a24 的最小值为-1,即b-a24=-1,b+4a=a24+4a-1,令h(a)=a24+4a-1,h(a)=a3-82a2=0,a=2,h(a)在a=2处取得最小值2.命题意图 该试题考查指数函数单调性、二次函数的单调性、二次函数的最值、复合函数的单调性,导数与极值问题等,是一个非常综合的题目,也是高考热点题目.数学素养方面考查了逆向思维、逻辑思维、发散思维、辩证思维等.17.解:(1)当n=1时,a1=S1,3a1=(4-)a1,=1.(2分)当n2时,3Sn-1=(4n-1-1)an-1,与3Sn=(4
12、n-1)an 相减得3an=(4n-1)an-(4n-1-1)an-1,整理得an=14an-1,(3分)数列an是以12为首项,14为公比的等比数列,(4分)数列an的通项公式为an=1214 n-1=122n-1.(5分)(2)log2an=-(2n-1),(6分)bn=1log2anlog2an+1=1212n-1-12n+1 ,(7分)Tn=121-13 +13-15 +12n-1-12n+1 =12 1-12n+1 =n2n+1.(10分)命题意图 该试题已知前n 项和Sn 求an 来化归成等比数列,再通过求对数化归成等差数列,而裂项相消是以等差数列为载体,该题考查学生的特值思想、逆
13、推思想、构造能力、灵活变通能力和准确运算能力.数学答案 第4 页(共6页)18.解:(1)在ABC 中,C=-(A+B),sin C=sin(A+B),sin(A+B)=5sin(B-A),(1分)sin Acos B+cos Asin B=5sin Bcos A-5cos Bsin A,(3分)即3sin Acos B=2sin Bcos A,(5分)由正弦定理可得2bcos A=3acos B.(6分)(2)由已知(2Rsin B)2-(2Rsin A)2=2Rsin C,(8分)由正弦定理得:b2-a2=c.(9分)将(1)中的2bcos A=3acos B 代入余弦定理得:2bb2+c
14、2-a22bc=3aa2+c2-b22ac,(10分)整理得b2-a2=15c2,c=5.(12分)命题意图 该试题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的正余弦公式等,其中正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式是高考必考内容.数学素养方面主要是培养学生考虑问题的全面性,使学生会用数学思想方法解题.19.解:(1)连接OA,则 OABC,建立如图所示的空间直角坐标系,设 BC=2,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A1(0,0,1),(2分)A1B=(0,1,-1),AC=(-1,-1,0),(3分)cos=-12 2=-12,(4分)故异面直线 A1B 与AC
15、所成角为60.(5分)(2)设BC=2,则OA1=3,B(0,1,0),B1(-1,1,3),C(0,-1,0),A1(0,0,3).(6分)设平面BB1C 的法向量为m=(x1,y1,z1),BB1=(-1,0,3),CB1=(-1,2,3),则-x1+3z1=0,-x1+2y1+3z1=0,令z1=1,m=(3,0,1).(8分)设平面 A1B1C 的法向量为n=(x2,y2,z2),A1C=(0,-1,-3),CB1=(-1,2,3),则-y2-3z2=0,-x2+2y2+3z2=0,令x2=3,n=(3,3,-1),(10分)cos=3-12 7=77,(11分)由图知二面角B-B1C
16、-A1 为钝角,所以二面角B-B1C-A1 的余弦值为-77.(12分)命题意图 该试题主要考查异面直线所成角、二面角等用空间向量来解的数学思想方法,是高考必考点之一.该试题主要考查学生的数形结合思想、抽象概括思想、转化思想等数学思想方法.20.解:(1)由3个路口进入市区的汽车分别是1、2、3辆的概率为C16C25C33A3336=4081.(4分)(2)的可能取值为1,2,3.(5分)数学答案 第5 页(共6页)则P(=1)=336=1243,(6分)P(=3)=C16C25C33A3336+C46A3336+C26C24C2236=2027,(8分)则P(=2)=1-P=1 -P=3 =
17、62243,(9分)其分布列为123P1243622432027(10分)E()=1 1243+262243+32027=665243.(12分)命题意图 该试题主要考查排列组合与概率问题,这几年的概率与统计很少有与排列组合结合的古典概型题型,是高考的冷点之一,而这几年的概率与统计出题方向总是力求新颖、变化.考查的数学素养是学生的运算能力、分析与综合能力、逆向思维能力等.21.解:(1)双曲线的离心率e=ca=2 33,c2=43a2=a2+b2,a2=3b2,(2分)将P(3,1)代入C:x23b2-y2b2=1,解得b2=2,a2=6,(3分)故双曲线C 的方程为x26-y22=1.(4分
18、)(2)当直线 AB 斜率不存在时,不满足PAPB,故不满足题意;(5分)当直线 AB 斜率存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB:y=kx+m,代入C 中整理得:(3k2-1)x2+6kmx+(3m2+6)=0.0,则x1+x2=-6km3k2-1,x1x2=3m2+63k2-1.(7分)PAPB,(x1-3)(x2-3)+(y1-1)(y2-1)=0,即(x1-3)(x2-3)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0,整理得18k2+9km+m2+m-2=0,即(3k+m-1)(6k+m+2)=0,(9分)当3k+m-1=0时,AB 过P 点,不符合题意.(10分)故6k+
19、m+2=0,直线 AB 化为y+2=k(x-6),AB 恒过定点Q(6,-2),M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点,(11分)即 M 的轨迹方程为 x-92 2+y+12 2=92(去掉点P).(12分)命题意图 该试题主要考查圆锥曲线的性质以及直线与圆锥曲线的关系,该题涉及的知识点也是高考必考点之一,并且直线与双曲线的位置关系是近一、二年新增考查知识点.圆锥曲线的考查有逐渐加难的趋势,所以选择解析几何作为压轴题.数学素养方面主要考查学生的运算能力,转化能力、代换能力和逻辑推理能力.数学答案 第6 页(共6页)22.解:(1)当 m0时,由x-12,f(1)0不符合题意.(1分)m-12-
20、12m,f(x)0;若-12x0.(4分)f(x)在x=-12-12m取得最大值,f(x)0=f(0),(5分)-12-12m=0,m=-1.(6分)(2)由(1)知当 m=-1时,由f(x)=-2x1+2x=0得x=0,(7分)当x-12,0 时,f(x)0;当x(0,+)时,f(x)0,则f(x)在x=0处取得最大值f(0)=0.ln1+2x 2x,(8分)当n3时,令x=-1n,ln1-2n -2n,即n-2ne-2n,e2n nn-2,(9分)所以e23 31,e24 42,e2n nn-2,e2n+1n+1n-1,(10分)相乘得e213+14+1n+1n+1 314253 nn-2n+1n-1=n(n+1)2=1+2+n,(11分)e13+14+1n+1n+1 1+2+n.(12分)命题意图 该试题主要考查函数的导数与单调性、函数的导数与不等式、通过特殊赋值化为数列不等式,该题考查的知识点是高考热点题目,该试题主要考查了学生的运算思想、转化思想、代换思想、赋值思想、构造思想和抽象推理.
