1、专题06圆锥曲线的方程（难点）一、单选题1已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.【解析】由题意得，的斜率为，而的渐近线为，由于直线与双曲线没有公共交点，如图，所以，即，故，即，所以，故，即.故选：C.2已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30的直线交抛物线于点（在第一象限），垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（）ABCD【答案】C【分析】如图所示，过点作，垂足为. 先证明是等边三角形，再求出，求出的值即得解.【解析】解：如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.因为，所以是等边三角形.
2、因为是的中点，所以， 所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C3已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得，设，线段CD的中点，同理得，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率.【解析】设，线段AB的中点，则，两式相减得，所以，设，线段CD的中点，同理得，因为，所以，则三点共线，所以，将代入得：，即，所以，即，所以，故选：D.4已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴
3、重合）与该椭圆相交于点M，N记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（）A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】A【分析】设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角.【解析】不失一般性，设在轴上方，在轴下方，设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，则，且.又.又直线的方程为，由可得，故，所以，故，同理，故，因为共线，故，整理得到即，若，因为，故，所以，故.故选：A.【点睛】思路点睛：与椭圆有关的角的计算，一般利用其正切来刻画，因为角的正切与直线的斜率相关，注意运
4、算结果的准确性.5是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（）ABCD【答案】C【分析】设，结合题意可得，设直线AB：并联立抛物线，应用韦达定理及求参数b关于的关系式，并将直线化为，利用其过定点求x、y，即可确定坐标.【解析】设，则，相减得，同理得：，为常数，整理有，设直线AB：，代入抛物线方程得：，则，代入，得：，有，代入AB的直线方程，得：，直线过定点，则，解得：，即，直线AB所过定点.故选：C.6已知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，若，则椭圆的离心率的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】确定四
5、边形为矩形，设，根据椭圆定义和勾股定理得到，根据函数的单调性得到范围.【解析】，故，故四边形为矩形.设，设，故，在上单调递减， 故在上单调递减，故，故.故选：D.7已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（）ABCD【答案】C【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【解析】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段的中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，
6、所以，故.所以的最大值为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值.8在平面直角坐标系中，角的平分线与P点的轨迹相交于I点存在非零实数，使得过点A的直线与C点的轨迹相交于MN两点若的面积为，则原点O到直线MN的距离为（）A1BCD【答案】C【分析】由条件可知点C的轨迹为椭圆，容易验证直线MN不垂直与x轴，设，直线MN的方程为：，与椭圆方程联立，根据的面积为求出t，继而可求出结果【解析】设点，的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由，知G为
7、的重心，则G的坐标为，由，知点P在角的平分线上，又角的平分线与P点的轨迹相交于I点，因此点I为的内心，如图，设角平分线交于，则，故，由为角平分线可得，而，故，故即,因此，点C的轨迹是椭圆，点C的轨迹方程为若直线MN垂直于x轴，则，此时，不符合题意；所以直线MN不垂直于x轴，设直线MN的方程为：，由，得：，可知：，所以，所以，解得，所以直线MN的方程为：，则原点O到直线MN的距离为：故选：C二、多选题9如图，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，则（）A直线与抛物线必相切BCD【答案】BD【分析】设点的坐标，及过点的直线方程；选项A，
8、联列方程，整理成的一元二次方程，用判别式判定是否恒为零即可；选项B，由知，选项B正确；选项C，计算得，两式不恒等，故C不正确；选项D，先计算，从而得，由等面积法知选项D正确.【解析】由已知 ， ，设过点的直线方程为： ，设点， ，则 ， ，由 得 ，所以 ，选项A：直线 的方程为 ，联立方程组得： ，所以 ， 不恒为零，故选项A不正确；选项B：由题得 ，而所以 ，所以 ，所以 ，故B正确；选项C： ，所以 ； ，所以 ， ， ， ，所以所以选项C不正确；选项D： ， ， ，在 中， ，故D正确.故选：BD.10已知椭圆C：的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：上，且圆E上的所有点均在椭圆C
9、外，若的最小值为，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（）A椭圆C的焦距为1B椭圆C的短轴长为C的最小值为D过点F的圆E的切线斜率为【答案】BD【分析】求出的值，利用椭圆的定义结合三点共线可求得的值，进一步求出的值，可判断选项AB；利用椭圆的定义结合圆的几何性质可判断C选项；设出切线方程，利用点到直线的距离公式求出切线的方程，可判断D选项.【解析】对于A，因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，所以，所以，解得或，因为，所以，即椭圆的焦距为，故A错误；对于B，由，所以椭圆的短轴长为，故B正确；对于C，故C错误；对于D，若过点的直线的斜率
10、不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意；设过点的切线方程为，即，则，解得，故D正确.故选：BD.11已知双曲线E：的左右焦点分别为，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（）A若，则B若，则双曲线的离心率C周长的最小值为8DAOB（O为坐标原点）的面积为定值【答案】ACD【分析】对于A，由双曲线的定义知，结合，即可判定A.对于B，在中，由正弦定理得出，结合双曲线的定义求出，因为，即可判定B.对于C，由分析知，当直线PQ垂直x轴时，周长的最小值，代入即可判定C.对于D，设，过点P的双曲线E的切线方程为，与两条渐近
11、线联立，求出A，B的坐标，又因为，故点P是AB的中点，所以，代入计算，即可判定D.【解析】由题意知，则，所以有，从而，故A正确.在中，由正弦定理得，则在，解得.又，所以，整理得，所以，解得，故B错误.当直线PQ垂直x轴时，的最小值为，故C正确.设，过点P的双曲线E的切线方程为，E的渐近线方程为，不妨设切线与渐近线的交点为A，联立方程组，解得，即，同理可得.又因为点P在双曲线E上，则有，故点P是AB的中点.设切线与x轴的交点为G，易知，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12椭圆的左、右焦点分别是，离心率为e，点A、B、P在椭圆E上，且满足(其中O为坐标原点)，则下列说法正确的是()A若是等腰直
12、角三角形，则B的取值范围是C直线过定点(定点坐标与a，b有关)D为定值(定值与a，b有关)【答案】BD【分析】A：分为斜边和直角边时计算椭圆离心率即可判断；B：根据即可判断；C：当直线AB为x=-t或x=t时显然满足，由此即可判断；D：，设，根据A、B在椭圆上满足椭圆方程可得和，由此可求为定值【解析】对于A，若是等腰直角三角形，则当为斜边时，离心率；当为直角边时，离心率，故错误；对于B，故B正确；对于C，易知存在两条平行直线：和使得，故直线不经过定点，故C错误；，故，则，不妨设，则，则，因为A在椭圆上，则，则，同理可得：，则为定值，则也为定值，故D正确故选：BD【点睛】本题综合考察椭圆的相关性
13、质.B选项利用O是的中点，将向量数量积进行转化，减少变量从而求得结果；C选项则只需根据椭圆对称性举出反例即可；D选项可采用设，的方法进行求解三、填空题13已知椭圆的离心率e的取值范围为，直线交椭圆于点M，N，O为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是_【答案】【分析】设，联立和韦达定理求出，再根据，求出椭圆长轴长的取值范围.【解析】联立，化简得设，则，由，则即，化简得，即，解得：，所以椭圆长轴长的取值范围是故答案为：【点睛】思路点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）
14、强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题14过点作斜率为的直线交椭圆于两点，若上存在相异的两点使得，则外接圆半径的最小值为_.【答案】【分析】根据题意可知在同一个阿氏圆上，可设设 为线段AB的外分点，由此可根据外接圆的直径为 ,列出等量关系，并表示出外接圆半径，设直线AB的参数方程，联立椭圆的方程，根据参数的几何意义，进行化简，可得答案.【解析】由题意知点在椭圆内，故，则可设，不妨设，故可知在同一个阿氏圆上，设其半径为 ，不妨设A,B位置如图：则由阿氏圆的定义可知， 为线段AB的分比为 的内分点，设 为分比为的外分点，则 ,则
15、,故,即 ,故 ；设直线AB的方程为 （t为参数，为倾斜角， ），代入到中得到： ， ，设其两根为 ，则 ，故，由于，其中为锐角，故 ，当时，取到最大值 ，故 的最小值为 ，当时，同理可解得的最小值为，故答案为：15已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为A，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是_（1）双曲线的离心率（2）当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上（3）为定值（4）的最小值为【答案】（1）（3）（4）【分析】先依据题给条件求得双曲线的标准方程.求得双曲线的离心率判断（1）；求得的内切圆的圆心的横坐标判断（2）；对化简整理，并求值判
16、断（3）；求得的最小值判断（4）.【解析】双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的渐近线为，由圆与双曲线的渐近线相切，可得，解之得或（舍），则双曲线，（1）双曲线的离心率.判断正确；（2）为双曲线右支上（异于右顶点）一点，设的内切圆与x轴相切于M点，则，解之得，则切点则的内切圆的圆心横坐标为，则圆心总在直线上.判断错误；（3）设双曲线右支上的动点坐标为，则又双曲线的渐近线为则，即为定值.判断正确；（4）设双曲线右支上的动点坐标为，则由，可得由，可得不妨令，则由为双曲线右支上的动点，可得，则则，即的最小值为.判断正确.故答案为：（1）（3）（4）16已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动
17、点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有_直线l：是曲线和的公切线：曲线和的公切线有且仅有一条；最小值为；当轴时，最小值为.【答案】【分析】对于利用导数的几何意义即可求解；对于，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.【解析】解：选项，对于曲线，当时，故直线与曲线相切与点；联立，可得，故此时直线与切于点，故直线l：是曲线和的公切线，故正确；对于，设公切线
18、分别与切于点，则曲线的切线为：，曲线的切线为，根据与表示同一条直线，则有，解得，令，则有，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，则有，根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线故曲线和的公切线有且仅有2条，故错误；对于，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，故有：，设点的坐标为：，则有：，令，可得，再次求导可得：，故在上单调递增，又，可得：当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；故，则，故，故正确；对于，当轴时，设，则，则有：，记，则有，令，解得：，故当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；故有，故，故选项正确.故答案为：.四、解答题17已知抛物线的焦点
19、为F，过点的直线与E交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O(1)求E的方程；(2)连接AF，BF，分别延长交E于C，D两点，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）根据题意，设直线方程为，联立方程组，得出，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OAOB，所以，即可求出的值，进而求出E的方程；（2）再次联立方程组，表示出和，由（1）知，代入可求得为定值.(1)由题知，直线l的斜率不为0，可设其方程为，联立，得，所以，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OAOB，即，所以，即，将代入，解得所以E的方程为；(2)设，直线AF的方程为，联立，得，所以，即，同理
20、，即，同理，由（1）知，所以18已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且(1)求双曲线的标准方程；(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由双曲线的对称性可取渐近线，则可求出交点的坐标，结合与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案；（2）设，讨论当时求出点；当，设出点，由可知，化简利用恒成立，即可求出点的坐标.（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为，由，得，因为，所以，即，又离心率为2，所以，故所以双曲线的标准方程为（2）由（1）知双曲线的右焦点为设，则当时，因为，所以，所以，
21、所以，符合题意当时，设，因为，所以（结合正切倍角公式）（i）当时，上式化简为，又，所以，对任意恒成立.所以，解得，即（ii）当，时，即也能满足综上，在轴的负半轴上存在定点，使得【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线中满足某条件的定点问题，属于难题，解本题的关键在于将角度的关系转化为斜率的关系，从而列出方程，由恒成立求出答案.19已知抛物线上一点到其焦点的距离为2(1)求p与m的值；(2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据焦半径公式求解即可；（2）设过的直线方程为，联立抛物线方程得出韦达
22、定理，再根据可得，设的方程分别为，则是的两根，再表达出的表达式，利用基本不等式求解即可（1）由焦半径公式有，解得，故抛物线，故，（2）显然斜率不为0，故设过的直线方程为，联立抛物线方程有，即，设，则.设，则，因为，所以，即，代入韦达定理有，化简得.设的方程分别为，则是的两根，故，.又与轴的交点分别为和，故，当且仅当时取等号故的最大值为20已知椭圆：与直线（不平行于坐标轴）相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.(1)证明：直线与椭圆相切；(2)当点运动时，点随之运动，求点的轨迹方程：若，不共线，求三角形面积的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)；【分析】（1）通过联立直线与椭圆，结
23、合判别式证得结论成立.（2）根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程. 求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.(1)在椭圆上，所以，由得，整理得，有唯一解，所以直线与椭圆相切.(2)，依题意可知直线与坐标轴不平行，所以，直线的斜率为，所以直线的斜率为，直线的方程为，令，解得；令解得，所以，所以点的轨迹方程为.，由知，且，直线的方程为，即，到直线的距离为，所以，当且仅当时等号成立，所以.【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积的最值问题的求解思路是：首先求得三角形面积的表达式，然后结合表达式的结构，考虑基本不等式、二次函数的性质、三角换元、导数等知识来求得面积的最值.21已知椭圆C：的长
24、轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，且，求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点；.【分析】（1）由给定的双曲线求出a，再由椭圆过的点求解作答.（2）直线斜率存在时，设出其方程并与C的方程联立，利用韦达定理结合已知计算判断，再验证斜率不存在的情况作答；由中动直线，确定点O到直线AB的最大距离即可求解作答.（1）双曲线的实半轴长为，则，即椭圆C：过点，有，解得，所以椭圆C的标准方程是.（2）当直线
25、斜率存在时，设直线的方程为：，由消去y并整理得：，有，则，即，整理得，满足，直线AB的方程：，即，直线AB过定点，当直线斜率不存在时，设，则，解得，直线：过点，所以直线恒过定点，此定点坐标为.由知，直线过点，显然在椭圆内，并且为定值，因此当且仅当直线时，坐标原点O到直线AB的距离最大，此时直线AB的斜率，方程为，所以直线AB的方程为.【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.22已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60，直线l交双曲线于A、B两点(1)求双曲线C的方程(2)若l过
26、原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在求证：为定值(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在；【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可求出结果；（2）设出点的坐标，结合根据两点求斜率，化简整理即可求出结果；（3）设出直线的方程，结合韦达定理得到，从而可得，即可得到结果，注意检验斜率不存在的情况即可.（1）由题意得，解得所以双曲线C的方程为（2）证明：设点A的坐标为，则由对称性知点B的坐标为设P（x，y），则，由得，所以（3）当直线
27、l的斜率存在时，设直线l的方程为，与双曲线方程联立消y得，所以，得且，所以假设存在实数m，使得，则对任意的恒成立，所以，解得所以当时，当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，3）及M（1，0）知结论也成立综上，存在M（1，0），使得【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形23已知点A、F分别为双曲线C：的左顶点和右焦点，且点A、F到直线的距离相等(1)求双曲线C的离心率；(2)设M为双曲
28、线C上的点，且点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为求双曲线C的方程；设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P、Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求值【答案】(1)2(2)；1【分析】（1）根据已知条件列出等式，化简可以得到双曲线C的离心率；（2）由（1）可得，设，代入双曲线方程，由根据点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为列出等式，结合可求出a的值，从而求得双曲线C的方程；由得，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示PQ中点坐标，得到线段PQ的垂直平分线的方程，用m表示与，从而得到的值（1）点A、F到直线的距离相等，得，即，所以c2a，所以，即双曲线C的离心
29、率为2（2）由（1）c2a，所以，所以双曲线C：，渐近线方程为设，则，即因为点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为，所以，即，所以，解得a1所以双曲线C的方程为由得F（2，0），设直线l的方程为xmy2，则由得所以设线段PQ中点E为，则，所以线段PQ的垂直平分线的方程为令y0，则，即所以由，得，所以，所以，即的值为124在平面直角坐标系xOy中，已知点（，0），（，0），点M满足，记M的轨迹为C以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作圆，圆T与轨迹C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B(1)求C的方程；(2)求的最小值，并求出此时圆T的方程；(3)设点P是轨迹C上异于A，B的一点，且直线PA，PB
30、分别与y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：为定值【答案】(1)(2)，(3)证明见详解【分析】（1）根据椭圆定义和几何性质可得a、c，然后可得；（2）设点A坐标，利用坐标表示出所求，然后消元转化为二次函数最值问题可得最小值，再求得点A坐标，然后可得；（3）设点P坐标，写出直线PA、PB方程，然后求得M、N坐标，用坐标表示出所求，然后化简可得.（1）由题可知，即，所以，所以曲线C的方程为.（2）由题知，设，则则又，即所以当时，取得最小值此时，所以圆T的半径所以圆T的方程为：（3）设，则直线的方程为，直线的方程为可得，所以又，即，代入上式可得：，即为定值.25设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的
31、焦点，当时，.(1)求抛物线的方程；(2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，分别交抛物线于点，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；(3)是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)定点为，详见解析；(3)，证明见解析.【分析】（1）由题可得，进而即得；（2）由题可得，设，联立抛物线方程，利用韦达定理法结合条件可得，进而即得；（3）取，结合条件可得，然后证明对任意的点，直线也与圆相切，设，切线为，利用韦达定理法结合条件求出直线方程，计算圆心到直线的距离即得.（1）当时，所以， 即抛物线的方程为；（2）在第一象限且时，设，由，可得，则，同理，又，即，即，所以，即所以直线恒过定点；（3）取，设的切线为，则，即，把代入，解得，直线，若直线与圆：相切，则，又，解得或（舍去），下面证明过曲线上任意一点（除原点）作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切，设，切线为，由，可得，由，可得，所以，即，同理可得，故，所以直线，所以圆心到直线的距离为，又，综上，可得过曲线上任意一点，存在实数，使直线与圆相切.