1、安微涡阳一中2018届高三最后一卷数学理第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若复数满足，那么（ ）A1 B C D52.已知集合，下列结论成立的是（ ）A B C D3.已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（ ）A B C D 4.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，点关于的对称点为，以为直径的圆被过原点的直线截得的最短弦长为，则双曲线的离心率为（ ）A B C. D5.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假
2、设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ）A B C. D6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C. D7.已知直线经过函数图像相邻的最高点和最低点，则将的图像沿轴向左平移个单位后得到解析式为（ ）A B C. D8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A33 B35 C. 36 D409.已知锐角的内角为，点为上的一点，则的取值范围为（ ）A B C. D10.设函数，若存在实数，满足，则，的关系为（ ）A B C. D11.（且）在区间上无零点 ，则实数的取值范围是（ ）A B C. D12.已知边长为2的等边
3、三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形的边长为2，点是上靠近的三等分点，则 14.已知，则 15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产，两种饮品.生产1吨饮品，需1小时，获利900元；生产1吨饮品，需1小时，获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍，每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为 元16.已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的
4、最小值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 古代数学著作张丘建算经上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列.（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？（2）设数列的前项和为，证明：.18.如图，是斜三棱柱中，已知，异面直线，且 .（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.19. 自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显
5、著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度（单位：）和降雪量（单位：）的关系为，当降雪量为5时，积雪深度为3.9.下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率：24小时内降雪量(单位:)概率0.200.400.200.10.050.05根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度（单位：）对工期的影响如下表：积雪深度()工期延误天数02610（1）已知24小时内降雪量大于10的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.城市济南菏泽潍坊青岛烟台积雪深度()2.0253.97.8515.1522.65现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率
6、；（2）求甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率；（3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望.20. 动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为.（1）求的轨迹的方程；（2）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且.证明：过和中点的直线过定点.21. 已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为
7、参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为，求直线的方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）设的最小值为，实数，满足，求证：.试卷答案一、选择题1-5: CDABC 6-10: CACAB 11、12：CB二、填空题13. 14. -2 15. 4400 16. 三、解答题17.解：（1）根据题意，应为等差数列，设数列的公差为，前项和为，由题意知，即， （尺），故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多尺.（2）由（1）可知，故， .18.解：（1）因
8、为，所以四边形是菱形，所以，又因为异面直线，所以平面，而平面，所以，又因为，即，且，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系，则，设与平面所成角为， ，设平面的一个法向量是，则即不妨令，可得， ， 与平面所成角的正弦值为.19.解：（1）因为，代入可得，所以.对应的5个城市降雪量为：城市济南菏泽潍坊青岛烟台降雪量()2.5510.272030达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为.（2）由概率加法公式，得，又，由条件概率，得，故甲地在24小时内降雪量至少是5的
9、条件下，工期延误不超过6天的概率为.（3）根据题意，设该工程损耗为，则，所以的分布列为：0.60.20.10.1于是，故该工程损耗的数学期望为元.20.解：（1）连接，根据题意，可知，则，故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则， ，所以点的轨迹的方程为.（2）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时，直线的方程为，联立解得直线经过定点.下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，联立消去得，则，所以，即，同理：，于是直线的斜率为，故直线的方程为，显然时，故直线经过定点.21.解（1）依题意：
10、在上递增， 对恒成立即对恒成立， 只需 ， ， 当且仅当时取“=”， ， 的取值范围为（2）当，时，其定义域是， ， ， 时，；当时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 当时，函数取得最大值，其值为当时，即 函数只有一个零点（3）由已知得两式相减，得，由及，得令， ， 在上递减， ， 22.（1）由题目知曲线的极坐标方程可化为，即，即， 曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，整理可得，设，所对应的参数分别为，则， ， 直线的斜率， 直线的方程为.23.（1），得.当时，不等式可化为，.又 ， ；当时，不等式可化为，.又 ， .当时，不等式可化为，.又 ， .综上所得，或，即.原不等式的解集为.（2）由绝对值不等式性质得， ，即.令，则，原不等式得证.
