1、猜想与证明1已知在平面直角坐标系内的位置如图，、的长满足关系式（1）求、的长；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由【解析】解：由.可知，.作轴与点D，存在.当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为；当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为；当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则为等腰三角形， ；所以存在，点P或或2在平面坐标系中，已知线段，且的坐标分别为，点为线段的中点.（1）线段与轴的位置关系是（2）求点的坐标。（3）在轴上是否存在点，使
2、得三角形面积为3.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】解：（1）因为A、B点的纵坐标相同，所以线段与轴平行； （2），C是线段AB的中点，C点坐标为： （3）在轴上存在点，使得三角形的面积为3.其理由如下：由（2）知：， 即： 或 ，P点坐标为：或时，三角形的面积为3.3探索与证明：（1）如图，直线经过正三角形的顶点，在直线上取点，使得，通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明；（2）将（1）中的直线绕着点逆时针方向旋转一个角度到如图的位置，通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明【解析】解：（1）DE=BDCE，证明如下ABC为等边三角形A
3、B=CA，BAC=60，ABDBAD=180ADB=120CAEBAD=180BAC=120ABD=CAE在ABD和CAE中ABDCAEBD=AE，AD= CEDE=AEAD= BDCE；（2）CE =BDDE，证明如下ABC为等边三角形AB=CA，BAC=60，ABDBAD=180ADB=60CAEBAD=BAC=60ABD=CAE在ABD和CAE中ABDCAEBD=AE，AD= CEAD= AEDECE= BDDE4如图，钝角中，为上一点，为上一点，（1）作于，交的延长线于判断与的大小关系，并说明理由求证；（2）若，求的长【解析】解：（1）,理由是：，于，作于，即，由知，（）（2）作交射线
4、于，交的延长线于，由（1）可知，由勾股定理，得，的长为5如图，在中，点为边上的一点，且，点关于直线的对称点为，连接，又的边上的高为（1）求的大小；（2）判断直线，是否平行？并说明理由；（3）证明：【解析】（1），点关于直线的对称点为，；（2）直线，平行理由：，如图，取中点，连接，则为等边三角形，为等腰三角形，即又的边上的高为，；（3）如图，过点作、的垂线，垂足分别为、，即点在的平分线上，即点在的平分线上，点在的平分线上又，中，6如图，边长为的正方形中，P是对角线上的一个动点（点P与A、C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转90到，连接，与交于点E，延长线与（或延长线）交于点F（1）连接，证明：；
5、（2）设，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，；（3）猜想与的数量关系，并证明你的结论【解析】（1）证明：线段BP绕点B顺时针旋转得到线段BQ，BP=BQ，四边形ABCD是正方形，BA=BC，即，在BAP和BCQ中，（SAS），CQ=AP（2）如图，四边形ABCD是正方形，DC=AD=，由勾股定理可得：，AP=x，PC=4-x，PBQ是等腰直角三角形，由，得到，得x=3或x=1当x=3或1时，（3）结论：PF=EQ，理由是：如图，当F在边AD上时，过P作，交AB于G，则，PB=BQ，（SAS），EQ=PG，F、A、G、P四点共圆，连接FG，FPG是等腰直角三角形，PF=PG，PF=E
6、Q当F在AD的延长线上时，如图所示，同理可得：PF=PG=EQ7问题提出：（1）同一平面内的两条线段和，已知，则线段最大值是_；最小值是_问题探究：（2）如图，四边形中，且，问是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由问题解决：（自行作图并解决）（3）在中，以为一边作正方形，连接，问是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由【解析】（1）由题意，分以下两种情况：当点不在同一条直线上时，由三角形的三边关系定理得：，即；当点在同一直线上时，点B在点的中间时，则，点C在点的中间时，则，综上，线段AC的取值范围为，则线段最大值是5，最小值是1，故答案为：5，1；
7、（2）存在，求解过程如下：如图，连接AC，将绕点C逆时针旋转，点A的对应点为点E，连接AE、BE、CE，旋转后点D的对应点为点B，由旋转的性质得：，是等边三角形，当点不在同一条直线上时，即，；当点在同一条直线上时，综上，当点在同一条直线上时，AC有最大值，最大值为6；（3）如图，将绕点B逆时针旋转，点E的对应点为点F，连接EF、BF、CF，四边形ABCD是正方形，旋转后点A的对应点为点C，由旋转的性质得：，在中，当点不在同一条直线上时，即；当点在同一条直线上时，综上，当点在同一条直线上时，有最大值，最大值为8如图，在直角中，是边上的中线，直线，是边延长线上一点，连接并延长交直线于点，将沿翻折得
8、，射线交直线于点（1）如图1，当时，求的长（2）如图2，当点在点的上方时，求证：（3）如果的面积为，求的长【解析】解：(1)，在中：，是边上的中线，是等边三角形，在中：，在和中，故答案为：4(2)由(1)可知：为等边三角形，沿翻折得，又，(3)过点作于点，过点作于点，如下图所示：四边形是一个矩形，为的中点，由(1)知：，得到，设，则，由(2)知：，代入数据：，即，解得：或(舍去)，的长度为，由(1)知：的长度为，故答案为：29如图，在ABC中，ABC60，点D，E分别为AB，BC上一点，BDBE，连接DE，DC，ACCD（1）如图1，若AC3，DE2，求EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于
9、点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AEAM，求证：2DEMC；（3）在（2）的条件下，若ACB45，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系【解析】解：（1）如图1，过点C作CGAB于G，AGCAGB90，ACCD，AGDG，设DGa，BDBE，ABC60，BDE是等边三角形，BDDE2，BGBD+DG2+a，在RtBGC中，BCG90ABC30，BC2BG=4+2a，CGBG6+a，在RtDGC中，CDAC3，根据勾股定理得，CG2+DG2CD2，(6+a)2+a290，a或a（舍），BCEC+BEEC+BD，EC+BD2(BD+DG)，ECBD+2DG2+2a2+29；（2）如
10、图2，在MC上取一点P，使MPDE，连接AP，BDE是等边三角形，BED60，BEDE，DEC120，BEPM，AEAM，AEMAME，AEBAMP，ABEAPM（SAS），APMABC60，APC120DEC，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，MPQAPC120DEC，ACCD，ADCDAC，CDE180BDEADC18060DAC120DAC，在ABC中，ACB180ABCDAC120DACCDE，MQ/AC，PMQACB，PMQEDC，MPQDEC（ASA），MQCD，ACMQ，APCQPM（AAS），CPMP，CMMP+CP2DE；（3）MC+ADAC如备用图，在MC上取一点P，
11、使PMDE，由（2）知，MC2CP2DE，ABEAPM，ABAP，ABC60，ABP是等边三角形，BPAB，BEBD，PEAD，BCBE+PE+CPDE+PE+DE2DE+ADMC+AD，过点A作AHBC于H，设BHm，在RtABH中，AHBHm，在RtACH中，ACB45，CAH90ACB45ACB，CHAHm，ACAHm，MC+ADBCBH+CHm+m(1+)m，MC+ADAC10如图，已知直线y=kx+8的与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点C 在x轴负半轴上，直线y=x+b经过点C，直线y=x+b与直线AB交于点E，线段OA，OC的长满足（1）求OA，OC的长；（2）求点E的坐标；
12、（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【解析】解：（1），OA=4，OC=5（2）OA=4，OC=5A（4，0），C（-5，0）将C（-5，0）代入y=x+b中，得到0=-5+bb=5，y=x+5将A（4，0）代入y=kx+8，得到0=4k+8k=-2，y=-2x+8联立得解得E点坐标为（1，6）（3）取CE的中点D，过D作CE的垂线，交x轴于点P，连接PEC（-5，0），E（1，6）设D点的坐标为（a，b）D为CE中点a=-2，b=3D（-2，3）设直线PD的的解析式为y=kx+bCEPDk1=-1k
13、=-1再代入D（-2，3），得到3=-（-2）+bb=1，y=-x+1在y=-x+1中，令y=0得到0=-x+1，x=1直线与x轴交点P为（1，0）E点坐标为（1，6）PEPC要构造的菱形CEPQ为正方形Q点坐标为（-5，6）以C为圆心CE长为半径作圆，交x正半轴于点P，作EQCP且EQ=CE，连接AQ同一个圆所有半径相等AC=CE又EQ平行且等于CP四边形PQCE为菱形C（-5，0），E（1，6）CE=EQ =CE=Q（1+，6）以C为圆心CE长为半径作圆，交x负半轴于点P，作EQAC且EQ=CE，连接AQ同一个圆所有半径相等PC=CE又EQ平行且等于CP四边形PQCE为菱形由知CE=，E（
14、1，6）Q（1-6，6）以E为圆心CE长为半径作圆，交x轴正半轴于点P，连接EP，作E关于x轴的对称点Q，连接CQ、PQ同圆半径相等CE=EP又Q点与E点关于x轴对称CE=CQ，PE=PQCE=EP=PQ=QC四边形CEPQ为菱形又Q点与E点关于x轴对称，E（1，6）Q（1，-6）综上所述，存在Q点，Q点坐标为（1，-6）或（-5，6）或（1-6，6）或（1+6，6）11如图，已知抛物线经过点A(-3，0)，C(0，3)，交x轴于另一点B，其顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若CAE与OCD相似，求P点坐标；（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上
15、，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由【解析】（1）抛物线经过点，解得此抛物线解析式为：；（2）顶点，点E只能在A点左边如下图，若则联立，（舍去）；若则AE=2联立，（舍去）得因此，或；（3）在抛物线上存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形若CF为对角线，则CF与NM互相垂直平分时，四边形CNFM为菱形，四边形CNFM为正方形N点与顶点D重合，菱形CNFM的周长为；若CF为菱形的一边，则，NM=NF时，四边形CNFM为菱形过F作FHNM于H，设直线NM交x轴于G，则, NM=NF，NF=FH又FH=OG
16、= 或NF=或NF=菱形周长为或 因此，存在菱形，其周长为，或.12如图，在平面直角坐标系中，点A(1，4)，点B(3，2)，连接OA，OB（1）求直线OB与AB的解析式；（2）求AOB的面积（3）下面两道小题，任选一道作答作答时，请注明题号，若多做，则按首做题计入总分在y轴上是否存在一点P，使PAB周长最小若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由在平面内是否存在一点C，使以A，O，C，B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）设直线OB的解析式为y=mx， 点B(3，2)， ，直线OB的解析式为，设直线AB的解析式为y=kx+b，根
17、据题意可得：解之得 直线AB的解析式为y= -x+5 故答案为：直线OB的解析式为，直线AB的解析式为y= -x+5；（2）如图，延长线段AB交x轴于点D， 当y=0时，-x+5=0，x=5，点D横坐标为5，OD=5， ，故答案为：5 （3）存在，(0，)；过点A作y轴的对称点，连接B，交y轴与点P，则点P即为使PAB周长最小的点，由作图可知，点坐标为，又点B（3，2）则直线B的解析式为：，点P坐标为，故答案为：；存在 或或有三种情况，如图所示：设点C坐标为，当平行四边形以AO为对角线时，由中点坐标公式可知，AO的中点坐标和BC中点坐标相同，解得点坐标为，当平行四边形以AB为对角线时，AB的中点坐标和OC的中点坐标相同，则点的坐标为，当平行四边形以BO为对角线时，BO的中点坐标和AC的中点坐标相同，则解得点坐标为，故答案为：存在，或或