1、第4课时一元二次不等式(3) 教学过程一、 数学运用【例1】已知关于x的不等式x2-mx+n0的解集是x|-5x1,求实数m, n的值.(见学生用书课堂本P47)规范板书解 不等式x2-mx+n0的解集是x|-5x1, x1=-5, x2=1是方程x2-mx+n=0的两个实数根,由韦达定理知 变式已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x0的解集.规范板书解由题意得即代入不等式cx2-bx+a0,得6ax2+5ax+a0(a0),即6x2+5x+10的解集为R,求实数m的取值范围.(见学生用书课堂本P47)规范板书解由题意可知m2. (m-2)x2+2(m-2)x+40的解集为R,即
2、二次函数y=(m-2)x2+2(m-2)x+4的值恒大于零, 即即 m的取值范围为m|2m0(a0)恒成立ax2+bx+c0(a0)恒成立变式设函数f(x)=mx2-mx-1.(1) 若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围;(2) 若对于m-2, 2, f(x)-m+5恒成立,求实数x的取值范围.规范板书解(1) 由f(x)0恒成立,知m=0,或m0且=m2+4m0,解得-4m0.(2) 由f(x)-m+5,得g=m-60对一切m-2, 2恒成立,由于g在m-2, 2上的图象是线段,故欲使g0恒成立,只需解得-1x0恒成立, =4k2-4k0, 0k1.*【例4】若不等式mx2
3、-2x+1-m0对满足-2m2的所有m都成立,求实数x的取值范围.规范板书解原不等式可化为(x2-1)m+(1-2x)0.设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),这是一个关于m的一次函数(或常数函数),从图象上看,要使f(m)0在-2m2时恒成立,其等价条件如下:即解得x.所以,实数x的取值范围是.变式对一切实数x,函数f=lg都有意义,求实数a的取值范围.规范板书解只需-a-.题后反思等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题,它是一种重要的思想方法.通过不断的转化,可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题.恒成立问题是高考考查的一种重要题型,
4、数形结合与分离参量是解决恒成立问题的有效方法.二、 课堂练习 1. 若不等式x2+ax+10对于一切x恒成立,则实数a的最小值是-.提示由题意可知-ax+对一切x恒成立,所以-a,所以a-. 2. 若关于x的不等式2x2-8x-4-a0在1x4内有解,则实数a的取值范围是a-4.提示因为关于x的不等式a2x2-8x-4在1x4内有解,又1x4,则2x2-8x-4,所以a0恒成立,则实数a的取值范围是.提示由题意知a2-a+对一切x恒成立,而g(x)=+在上是单调减函数,所以a2-a,所以-a0恒成立,则实数a的取值范围是a.提示由题可知解得a.三、 课堂小结等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题,它是一种重要的思想方法.通过不断地转化,可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题.恒成立问题是高考考查的一种重要题型,数形结合与分离参量是解决恒成立问题的有效方法.
