1、专题二 数 列考情动态分析 数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2009年全国及16省市高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项
2、公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.展望2007年高考，数列仍是重点考查内容之一，估计试题经常在数列的知识、函数知识、不等式的知识和解析几何知识等的交汇点处命题，使数列试题呈现综合性强、立意新、角度新、难度大的特点.体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消去法、归一法、分离变量法、归纳猜想证明等基本的数学方法，在复习数列单元时，一定要以等差、等比数列为载体，以通项公式、求和公式为主线，注重基础，联系实际.通过对试题的练习，提高其运算能力、思辨能力、解决
3、实际问题的能力，才能以不变应万变，在高考中立于不败之地.2.1 数列的基本运算和性质考点核心整合1.数列的通项公式an=f(n)(nN*)实质上就是一个函数关系式，求数列的通项公式常用以下方法：(1)公式法：等差与等比数列采用此方法；(2)观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系，初步归纳出公式，再取n的特值验证，如有误差再作调整，如题目需要，可用数学归纳法对归纳出的结果加以证明；(3)递推关系法：它指先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化得到数列普遍的递推关系，再通过代数方法利用递推关系，求出通项公式；(4)利用Sn与a
4、n的关系，特别注意对n=1时进行验证.2.抓住基本量，利用方程观点解题 善于利用通项公式、前n项和公式求其余的量.3.等差与等比数列的单调性：重视思想方法在解题中的应用：等差数列等比数列在等差数列an中，公差为d增减性d0递增数列d=0常数列d0递减数列在等比数列an中，公比为q增减性或递增函数或a11递减函数，q=1常数列；q0(nN*)，则logaan成等差数列，反之也对;等比数列an的前n项积为Vn,则Vn=a1n(nN*). 灵活运用两类数列的上述性质解题，可使问题化繁为简，化难为易，减少解题运算量.5.具体问题求和，掌握有关方法和题型(1)错位相减法：一个等差数列与等比数列对应项积组
5、成的数列，求和采用此法，此外，有关应用问题求和也会出现上述情况.(2)倒序相加法：涉及此法的题目不多，主要是用组合数性质=“上”“下”合并.(3)分组求和法：善于观察、通过分析、组合转化为n个等差、等比或常见数列再求和.(4)裂项相消法：是分解与组合思想在数列问题中的具体应用，实质为将数列中的某些项分解、重新组合，使得可以消去一些项，最终达到求和的目的，一般通过研究通项来实现.常见类型有,等形式.考题名师诠释【例1】 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设an是公比为q的无穷等比数列，下列an的四组量：S1与S2；a2与S3；a1与an；q与an中，一定能成为该数列“基本量”的
6、是第_.其中n为大于1的整数，Sn为an的前n项和.解析：对于，若已知S1与S2，则a1、a2确定，该数列唯一确定； 对于，若已知a2与S3，a1和q可能不唯一，如a2=2,S3=7,则可得a1=1且q=2或a1=4且q=; 对于，若已知a1与an，a1和q也有可能不唯一，如a1=1,a3=4,则q=2或-2； 对于，若已知q与an，则显然a1和q唯一确定.故填.答案：【例2】记等比数列an的前n项和为Sn已知S4=1，S8=17，求an的通项公式.解：设an的公式为q，由S4=1,S8=17知q1，所以得=1, =17. 由、式，得q4+1=17,q4=16.q=2或q=-2. 将q=2代入
7、式得a1=，所以an=; 将q=-2代入式得a1=-， 所以an=.评述：本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式及方程思想、整体思想，特殊注意利用前n项和公式时要考虑q1、q=1两种情况.【例3】 数列an的前n项和Sn=npan(nN*)且a1a2,(1)求常数p的值；(2)证明an为等差数列.分析：(1)关键是把Sn写成项的和的形式，建立关于p的方程，给n以具体的值n=1和n=2.(2)求an的表达式.(1)解：由Sn=npana1=pa1(p-1)a1=0. 若p=1,则S2=2a2.a1+a2=2a2.a1=a2,矛盾.p1.a1=0. 由S2=2pa2，得a1+a2=2pa2,(2
8、p-1)a2=0.a1a2,a1=0，a20.p=.(2)证明：由S3=3a3a3=2a2,由S4=4a4，得a4=3a2,猜想an=(n-1)a2. 以下用数学归纳法证明. 当n=1时，a1=0=(1-1)a2,等式成立. 假设当n=k时成立，即ak=(k-1)a2. 当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1(k+1)ak+1=kak+ak+1ak+1=ak=a2ak+1=ka2, 即n=k+1时，命题成立. 故an=(n-1)a2(nN*).an是以a1=0为首项,公差为a2的等差数列.评述：以数列为载体，考查学生的数学思想方法和逻辑推理能力是近几年高考的突出特点.本题学生容易出现由a1=
9、pa1 p=1,忽略了a1可能为0的情况.链接思考 本题第(2)问能否不用数学归纳法证明呢？若能，读者不妨一试.【例4】已知公比为q(0q1)，使得存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限)解：(1)依题意可知，(2)由(1)知，an=3()n-1，所以数列T(2)的首项为t1=a2=2，公差d=2a2-1=3，S10=102+1093=155.即数列T(2)的前10项之和为155.(3)bi=ai+(i-1)(2ai-1)=(2i-1)ai-(i-1)=3(2i-1)()i-1-(i-1)，Sn=45-(18n+27)()n-，=-()n-. 当m=2时
10、，=-;当m2时，=0，所以m=2.评述：本题是一道数列综合应用题，注意求解过程中的转化与化归.【例5】已知数列xn满足x1=x2=1，并且=(为非零参数，n=2,3,4,).(1)若x1、x3、x5成等比数列，求参数的值；(2)设01，常数kN*且k3，证明+(nN*).(1)解：由已知x1=x2=1，且=x3=，=x4=3，=x5=6. 若x1、x3、x5成等比数列，则=x1x5，即2=6，而0，解得=1.(2)证明：设an=，由已知，数列an是以=1为首项，为公比的等比数列，故=n-1，则=n+k-2n+k-3n-1=. 因此，对任意nN*，+=+2k+=(k+2k+nk)=. 当k3且01时,01，01-nk1, 所以+(nN*).评注：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.