1、安徽省淮北市2021届高三数学二模试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1已知集合PxR|0，Qy|y，xR，则PQ（）A（，1）（1，3）B（0，1）C（1，3）D（1，3）2若（+i）z2+i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知sin，（，），则tan（）A2BCD24“干支（gn zh）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支，干支按序相配，
2、组成干支纪年法，相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸酉：甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙酉、丙戌、癸巳；共得60种不同组合，这就是俗称的“六十甲子”，也叫“干支表”，周而复始干支纪年以每年立春换年，是中华民族的伟大发明2021年是干支纪年中的辛丑年，则2035年是干支纪年中的（）A甲寅年B乙卯年C丙辰年D甲巳年5函数y3cosxe|x|的图象可能是（）ABCD6已知某几何体的一条棱长为l该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为a与b，且a+b2，则l的最小值为（）ABCD20217如图，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|2
3、|OF1|，ABF1，则双曲线的离心率为（）ABCD8如图，O为正四棱锥PABCD的底面中心，E，F分别是PO，PD上的动点，若PAC是边长为2的正三角形，则AE+EF的最小值为（）A1BC2D29若数，能成为等差数列的项（可以不是相邻项）则记为1，不能则记为0；若数2，3，5能成为等比数列的项（可以不是相邻项）则记为1，不能则记为0那么这两组数对应的判断结果是（）A（0，0）B（1，1）C（0，1）D（1，0）10已知函数f（x）2sin（x+）（0）满足f（）2，f（）0，且f（x）在区间（）上单调，则满足条件的个数为（）A7B8C9D1011在平面直角坐标系xOy中，曲线1：y24x，2
4、：（x4）2+y28，过1上的点M作直线交2于P，Q两点则|MP|MQ|的最小值是（）A3B4C3D412已知关于x的不等式exmxlnxln（m+1）0在（0，+）恒成立，则m的取值范围是（）A（1，e1B（1，1C（e1，1D（1，e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（）9展开式中常数项为 14已知坐标平面内的点集（x，y）|x，y1，0，1，在中任取三点，则这三点两两距离不超过的概率是 15设M是函数f（x）x+图象上任意一点，过点M向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则 16在如图所示的多面体中，MABC为正四面体，NANBNCAB，直线MN与平面ABC交于点P
5、，则下列命题中正确的有 .（写出所有正确命题的序号）MABC；MAN；MP2PN；MA平面NBC；该多面体存在外接球三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bcosasinB（）求A；（）若ABC的面积S2，D为BC的中点，求BC边上中线AD的最小值18甲乙两人用两颗质地均匀的骰子（各面依次标有数字1、2、3、4、5、6的正方体）做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷，否则由对方接着投
6、掷第一次由甲投掷（）求第二次仍由甲投掷的概率；（）设游戏的前4次中乙投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与期望19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD3，BC4，E为PD的中点，点F在PC上，且；（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且，判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由20如图，椭圆：1（a1）的右焦点为F，右顶点为A，满足，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率（）求椭圆的标准方程；（）设M为椭圆上的动点（异于左、右顶点），直线MF交椭圆于另一点N，直线MA交直线x2于点P，求证：直线PN过定点21已知函数f
7、（x）lnx（ax）（）若a1，证明：当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，+）时f（x）0；（）若f（x）存在两个极值点m，n，求证：（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为cos（+）4（）写出曲线C1，C2的普通方程；（）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2xa|+|x+|（a0
8、）（）证明：f（x）2；（）若f（1）4，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1已知集合PxR|0，Qy|y，xR，则PQ（）A（，1）（1，3）B（0，1）C（1，3）D（1，3）解：Px|x1或x1，Qy|0y3，PQ（1，3）故选：C2若（+i）z2+i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：（+i）z2+i（其中i为虚数单位），（i）（+i）z（i）（2+i），化为：4z6+3i+1，z+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点（，）位于第三象限，故选：C3已知sin，（，），则t
9、an（）A2BCD2解：因为sin，（，），所以cos，则tan2故选：D4“干支（gn zh）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支，干支按序相配，组成干支纪年法，相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸酉：甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙酉、丙戌、癸巳；共得60种不同组合，这就是俗称的“六十甲子”，也叫“干支表”，周而复始干支纪年以每年立春换年，是中华民族的伟大发明2021年是干支纪年中的辛丑年，则2035年是干支纪年中的（）A甲寅年B乙卯年C丙辰年D
10、甲巳年解：由题意可知，“天干”是以10为公差的等差数列，“地支”是以12为公差的等差数列，从2021年到2035年经过了14年，因为141014，所以“天干”中辛往后数4个为乙，因为141212，所以“地支”中丑往后数2个为卯，所以2035年是“干支纪年法”中的乙卯年，故选：B5函数y3cosxe|x|的图象可能是（）ABCD解：函数y3cosxe|x|是一个偶函数，且当x0时，函数值为2，故可排除C，又当x0时，y3sinxex0，即函数在（0，+）上是减函数，由此排除AD，故选：B6已知某几何体的一条棱长为l该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为a与b，且a+b2，则l的最
11、小值为（）ABCD2021解：如图所示：设长方体中ABl，BD为正投影，BE为侧投影，AC为俯视图的投影故：BD，BEa，ACb，设AEx，CEy，BCz，则：x2+y2+z2l2，x2+y2b2，y2+z2a2，x2+z22020，所以2（x2+y2+z2）a2+b2+2020，故：2l2a2+b2+2020，由于2（a2+b2）（a+b）2，所以a2+b22022，所以l22021，故l故选：C7如图，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|2|OF1|，ABF1，则双曲线的离心率为（）ABCD解：F1、F2是双曲线1（a0，b0）
12、的左、右焦点，在RtABF1中，|OF1|c，|AB|2c，在直角三角形ABF1中，ABF1，可得|AF1|2csin，|BF1|2ccos，连接AF2，BF2，可得四边形AF2BF1为矩形，|BF2|AF2|AF1|AF2|2c|cossin|2a，e，cos（+）cos，e，故选：A8如图，O为正四棱锥PABCD的底面中心，E，F分别是PO，PD上的动点，若PAC是边长为2的正三角形，则AE+EF的最小值为（）A1BC2D2解：连接AC、OD，因为O为正四棱锥PABCD的底面中心，所以PO平面ABCD，若PAC是边长为2的正三角形，则OAOC1，在RtPOA中，PA2，APO30；在RtP
13、OD中，OD1，PD2，DPO30；因为E，F分别是PO，PD上的动点，将图中RtPOA和RtPOD取出展开在同一平面内，如图所示；展开可得：则APDAPO+DPO60，PA2；过点A作AFPD于F，当A、E、F在同一直线时AE+EF有最小值，在RtAFP中，AFAPsin602；则AE+EF的最小值为故选：B9若数，能成为等差数列的项（可以不是相邻项）则记为1，不能则记为0；若数2，3，5能成为等比数列的项（可以不是相邻项）则记为1，不能则记为0那么这两组数对应的判断结果是（）A（0，0）B（1，1）C（0，1）D（1，0）解：数，能成为等差数列的项（可以不是相邻项），假设可以，得md，m，
14、nN*，d为公差，消d得，即5n4m，取n4k，m5k，kN*即可，故可以构成等差数列，数2，3，5能成为等比数列的项（可以不是相邻项），假设可以，得qm，m，nN*，q为公比，消m，n得（）n（）m，即3m+n2n5m，m，nN*，左边为奇数，右边为偶数，不可能这两组数对应的判断结果是（1，0）故选：D10已知函数f（x）2sin（x+）（0）满足f（）2，f（）0，且f（x）在区间（）上单调，则满足条件的个数为（）A7B8C9D10解：设函数的最小正周期为T，由于函数f（x）2sin（x+）（0）满足f（）2，f（）0，故，解得，所以（kZ），由于函数f（x）在区间（）上单调，故，故，即，
15、解得，由于kN+，所以k取0，1，2，3，4，5，6，7，8故的取值为9个；故选：C11在平面直角坐标系xOy中，曲线1：y24x，2：（x4）2+y28，过1上的点M作直线交2于P，Q两点则|MP|MQ|的最小值是（）A3B4C3D4解：设M（x0，y0），则y024x0，圆2：（x4）2+y28的圆心为（4，0），半径为2，由圆的切割线定理，可得|MP|MQ|MT|2，（T为切点），由勾股定理可得|MT|2（x04）2+y028（x04）2+4x08（x02）2+44，当x02时，|MT|2取得最小值4，即|MP|MQ|的最小值是4故选：B12已知关于x的不等式exmxlnxln（m+1）
16、0在（0，+）恒成立，则m的取值范围是（）A（1，e1B（1，1C（e1，1D（1，e解：由exmxlnxln（m+1）0得exmxln（m+1）x，即ex+xln（m+1）x+（m+1）xeln（m+1）x+ln（m+1）x，构造函数f（x）ex+x，则f（x）f（ln（m+1）x），又函数f（x）为增函数，xln（m+1）x，即ex（m+1）x，对任意x（0，+）都成立，令，则，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单减，当x（1，+）时，g（x）0，g（x）单增，g（x）g（1）e1，me1，又m+10，1me1故选：A二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（）9展开式中常
17、数项为解：展开式的通项公式为Tk+1（2x）9k（）k29kx9k（）kx29k（）kx，由90得k6，即常数项为23（）6，故答案为：14已知坐标平面内的点集（x，y）|x，y1，0，1，在中任取三点，则这三点两两距离不超过的概率是解：由点集（x，y）|x，y1，0，1，可得点集中的点有（1，1），（1，0），（1，1），（0，1），（0，0），（0，1），（1，1），（1，0），（1，1）共9个点，从中任取三点，共有84种取法，又三点两两距离不超过，只能为1和，只能在构成边长为1的正方形的四个点中取三个，取法种数为416则所求概率为P故答案为：15设M是函数f（x）x+图象上任意一点，过点
18、M向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则2解：由题意可设M（x0，y0），则，即，MA与直线yx垂直，可得MA：yy01（xx0），即x+yx0y00，联立，解得A（），又MBy轴，则B（0，y0），故答案为：216在如图所示的多面体中，MABC为正四面体，NANBNCAB，直线MN与平面ABC交于点P，则下列命题中正确的有 .（写出所有正确命题的序号）MABC；MAN；MP2PN；MA平面NBC；该多面体存在外接球解：对于，取BC的中点D，连结AD，DM，因为ABAC，D为BC的中点，则ADBC，同理可得BCDM，又ADDMD，AD，DM平面ADM，故BC平面ADM，又AM平面ADM，
19、故AMBC，故选项正确；对于，设AB2，点M在底面ABC上的射影O为正ABC的中心，所以MO平面ABC，因为NANBNC，则三棱锥NABC为正三棱锥，所以点N在底面ABC的射影也为正ABC的中心，即ON平面ABC，因为OMONO，则O，M，N三点共线，又MN平面ABCP，所以O与P重合，正ABC的外接圆半径为，则，因为AN，同理，所以，则AM2+AN2MN2，所以MAN，故选择错误；对于，由可知，MP2PN，故选项正确；对于，连结ND，因为P为正ABC的中心，AD为正三角形的边BC的中点，则PAD，故PN与AD相交，则P，A，N，D四点共面，因为NANBNCBC，所以NA2+NB2AB2，则N
20、ANB，同理可得NANC，又NBNCN，所以NA平面NBC，又ND平面NBC，所以NAND，因为NAMA，且P，A，N，D四点共面，所以MA/ND，因为MA平面NBC，ND平面NBC，所以MA/平面NBC，故选项正确；对于，由可知，MAN，同理可得MBNMCN，故MN为多面体MABCN的外接球的直径，故选项正确故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bcosasinB（）求A；（）若ABC的面积S2，D
21、为BC的中点，求BC边上中线AD的最小值解：（I）bcosasinB，由正弦定理可得：sinBcossinAsinB，sinB0，可得：cossinA2sincos，cos0，sin，A（0，），即A（）ABC的面积S2，bcsin2，化为：bc8D为BC的中点，由中线长定理可得：b2+c2+2AD2，由余弦定理可得：a2b2+c22bccos，代入上式可得：4AD2b2+c2+bc3bc24，解得AD，当且仅当bc2时，BC边上中线AD取得最小值18甲乙两人用两颗质地均匀的骰子（各面依次标有数字1、2、3、4、5、6的正方体）做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷
22、，否则由对方接着投掷第一次由甲投掷（）求第二次仍由甲投掷的概率；（）设游戏的前4次中乙投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与期望解：（）求第二次仍由甲投，说明第一次掷出的点数之和为3的倍数，所有的情况共有6636种，其中，掷出的点数之和为3的倍数的情况有（1，2）、（1，5）、（2，4）、（3，3）、（3，6）、（4，5），（6，6）、（5，4）、（6，3）、（4，2）、（5，1）、（2，1），共计12种情况，故第二次仍由甲投掷的概率为（）设游戏的前4次中乙投掷的次数为X，则X的取值分别为0，1，2，3，由（）可得P（X0），P（X1）+2，P（X2）+，P（X3），故随机变量X的分布列为：X
23、0123P 故X的数学期望为EX0+1+2+319如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD3，BC4，E为PD的中点，点F在PC上，且；（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且，判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由【解答】证明：（）PA平面ABCD，PACD，ADCD，PAADA，CD平面PAD解：（）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，），F（1，1，2），P（0，0，3），B（3，1，0），（0，），（1，1，2），平面AE
24、P的法向量（1，0，0），设平面AEF的法向量（x，y，z），则，即，取x1，得（1，1，1），设二面角FAEP的平面角为，则cos二面角FAEP的余弦值为（）直线AG在平面AEF内，理由如下：点G在PB上，且G（2，1，1），（2，1，1），平面AEF的法向量（1，1，1），2110，故直线AG在平面AEF内20如图，椭圆：1（a1）的右焦点为F，右顶点为A，满足，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率（）求椭圆的标准方程；（）设M为椭圆上的动点（异于左、右顶点），直线MF交椭圆于另一点N，直线MA交直线x2于点P，求证：直线PN过定点解：（）由，可得+，又b1，c2a21，e，解得a，c1，所
25、以椭圆的方程为+y21；（）由题意和（）可得l的方程为x2，F（1，0），F（1，0），A（，0），B（，0），设直线MF的方程为xty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，可得（2+t2）y2+2ty10，则y1+y2，y1y2，又直线MB的方程为y（x），当x2时，P（2，），kBNkBP，通分后分式的分子为：（2+）y2（x1）（2）y1（x2+）（2+）y2（ty1+1）（2）y1（ty2+1+）2ty1y2（y1+y2）2t（）（）0，即kBNkBP，故直线PN过定点B21已知函数f（x）lnx（ax）（）若a1，证明：当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，+）时f（x）
26、0；（）若f（x）存在两个极值点m，n，求证：【解答】证明：（）当a1时，f（x）lnx（x），定义域为（0，+），f（x）0在（0，+）上恒成立，故f（x）在（0，+）上单调递减，又f（1）0，当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0；（）f（x），f（x）存在两个极值点m，n，ax2+2x10有两个正数根，得0a1且m+n2mn，又，不妨设mn，则，又m+n2mn，即证，记t（t1），即证lnt0，设g（t）lnt，t1，则g（t），当t1时，g（t）0，g（t）在（1，+）上单调递减，故g（t）g（1）0，故原不等式成立（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任
27、选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为cos（+）4（）写出曲线C1，C2的普通方程；（）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值解：（）由（t为参数），两式平方作和可得x2+y21（x1）；由cos（+）4，得，即，可得x曲线C1，C2的普通方程分别为x2+y21（x1）；x（）设P（cos，sin），（02且），则P到直线x的距离d|2cos（）8|cos（）4|PA|cos（）4|当cos（）1时，当cos（）1时，选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2xa|+|x+|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（1）4，求实数a的取值范围解：（）证明：f（x）|2xa|+|x+|，f（x）在（，）单调递减，在，单调递减，在（，+）上单调递减，f（x）minf（）+2，当且仅当x且a2时取最小值，f（x）2；（）f（1）|2a|+|1+|4（a0），|2a|3，30，解得：a，当a2时，有2a3，a2或a1，结合得：1a2，当a2时，有a23，2a，综上：实数a的取值范围是（1，）