1、3.2.1 双曲线及其标准方程题型一 双曲线的定义及运用【例1】（全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线（2）（全国高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）A9B5C8D4（3）（全国）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）A1B2C4D（4）（全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，则的周长的最小值为（ ）ABCD【题型专练】1（河北定兴第三中学）已知双曲线的左右焦点，是双
2、曲线上一点，则（ ）A1或13B1C13D92（鹤山市第二中学）P是双曲线x2y216左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|（ ）A4B-4C8D83（全国）已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于（ ）A2B4C6D8题型二 求曲线的轨迹方程【例2】（1）（全国高二课时练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线C双曲线的左支D双曲线的右支（2）（全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）A双曲线B射线C线段D双曲线的一支或射线【题型专练】1（浙江丽
3、水高二期中）已知点是圆（为坐标原点）上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹是（ ）A直线B圆C椭圆D双曲线2（全国高二课时练习）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_题型三 双曲线的标准方程【例3】（1）（全国高二课时练习）等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（ ）ABCD（2）（全国高二课时练习）已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（ ）ABCD（3）（全国高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线的方程是（ ）Ax2y28Bx2y24Cy2x28Dy2x24【题型专练】1（内蒙古乌兰浩特一中高二期末（文
4、）已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）ABCD2（全国）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线yx交于A，B两点，若|AB|2，则该双曲线的方程为（ ）Ax2y26Bx2y29Cx2y216Dx2y2253（全国高二课前预习）已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ）ABCD4（全国高二专题练习）已知双曲线1（a0，b0）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）A1Bx21C1Dx215（云南丽江第一高级中学高二月考（理）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）ABCD6（云南昆明高二期末（
5、理）双曲线的顶点焦点到的一条渐近线的距离分别为和，则的方程为（ ）ABCD3.2.1 双曲线及其标准方程题型一 双曲线的定义及运用【例1】（全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线（2）（全国高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）A9B5C8D4（3）（全国）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）A1B2C4D（4）（全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，则的周长的最小值为
6、（ ）ABCD【答案】（1）C（2）A（3）D（4）A【解析】（1）由题意，知，当时，此时点的轨迹是双曲线的一支；当时，点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线故选：C.（2）设右焦点为，则，依题意，有，（当在线段上时，取等号）故的最小值为9.故选：A.（3）设，.由，的面积为，可得，由离心率为，可得，代入式，可得.故选：D.（4）设双曲线的左焦点为，则由题可知，的周长为当，三点共线时，最小，最小值为，的周长的最小值为故选：A【题型专练】1（河北定兴第三中学）已知双曲线的左右焦点，是双曲线上一点，则（ ）A1或13B1C13D9【答案】C【解析】根据双曲线定义可得，又，所以或，又，解得，即，又，所
7、以.故选：C2（鹤山市第二中学）P是双曲线x2y216左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|（ ）A4B-4C8D8【答案】D【解析】因为双曲线方程为x2y216，化为标准方程得，即，所以，而点在双曲线左支上，于是，所以故选：D3（全国）已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于（ ）A2B4C6D8【答案】B【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2y21中，a1，b1，c，则|PF1|PF2|2a2，|F1F2|2，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，8|PF1|
8、2|PF2|22|PF1|PF2|，8(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，84|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4.故选：B题型二 求曲线的轨迹方程【例2】（1）（全国高二课时练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线C双曲线的左支D双曲线的右支（2）（全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）A双曲线B射线C线段D双曲线的一支或射线【答案】（1）D（2）D【解析】（1）表示：动点到两定点，的距离之差等于2，而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支故选：D（2）两个定点的距离为，当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；当
9、，即时，点的轨迹为射线；不存在的情况综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线故选：D【题型专练】1（浙江丽水高二期中）已知点是圆（为坐标原点）上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹是（ ）A直线B圆C椭圆D双曲线【答案】D【解析】依题意，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得， 当点M在线段QO的延长线上时，如图， 当点M在线段OQ的延长线上时，如图，从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线.故选：D2（全国高二课时练习）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_【答案】【解析】如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，根据两圆外切的条件，得，因为，所以，
10、即，所以点到两定点，的距离的差是常数且小于根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，则故点的轨迹方程为故答案为：.题型三 双曲线的标准方程【例3】（1）（全国高二课时练习）等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（ ）ABCD（2）（全国高二课时练习）已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（ ）ABCD（3）（全国高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线的方程是（ ）Ax2y28Bx2y24Cy2x28Dy2x24【答案】（1）D（2）B（3）A【解析】（1）等轴双曲线的一个焦点为，且a=b，又，即，双曲线的标准方程为故选：D（2）因为双曲线
11、的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为因为，两点在双曲线上，所以，解得，于是所求双曲线的标准方程为.故选：B（3）设等轴双曲线的方程为，且，令y0，得x4，等轴双曲线的一个焦点为（4，0），c4，a2b2c2168，故选：A.【题型专练】1（内蒙古乌兰浩特一中高二期末（文）已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意得，解得，所以双曲线的方程为故选：B2（全国）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线yx交于A，B两点，若|AB|2，则该双曲线的方程为（ ）Ax2y26Bx2y29Cx2y216Dx2y225【
12、答案】B【解析】设等轴双曲线的方程为x2y2a2(a0)，与yx联立，得x2a2，|AB|a2，a3，故选B.3（全国高二课前预习）已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=（0），将点（5，3）代入方程，可得=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1.4（全国高二专题练习）已知双曲线1（a0，b0）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）A1Bx21C1Dx21【答案】A【解析】因为双曲线1（a0，b0）的实轴长为4，所以a2，由离心率为，可得，c2，所以b4，则双曲线的标准方程为1.故选：A5（云南丽江第一高级中学高二月考（理）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为椭圆C：的焦点为；所以设双曲线的标准方程为，则有，解得，所以方程为.故选：C.6（云南昆明高二期末（理）双曲线的顶点焦点到的一条渐近线的距离分别为和，则的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的焦点到渐近线的距离为，顶点到渐近线的距离为，由解得所以双曲线的方程为故选：D