1、第二章 平 面 向 量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 必备知识自主学习 1.向量的定义与表示(1)定义:既有_又有_的量叫做向量.导思(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等,这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别?(2)如何形象、直观地表示既有大小,又有方向的量?(3)“若ab,且bc,则ac”这个说法对吗?大小 方向(2)表示方法:几何表示法:用以A为起点,以B为终点作的有向线段_表示.字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c表示向量,手写时,可写成带 箭头的小写字母 (3)向量的模:向量的大小叫做向量的_或_,如a,的模分别记作_,_.ABa b
2、c，长度 模 AB|a|AB【思考】(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性?只描述其中一个方面可以吗?提示:向量不仅有大小,而且有方向.大小是代数特征,方向是几何特征.看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素,二者缺一不可.(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量?提示:要准确画出向量,应先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.2.特殊向量(1)零向量:_的向量叫做零向量,记作0.(2)单位向量:_的向量叫做单位向量.(3)相等向量:_且_的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作 a=b.(4)平行向量或共线向量:方
3、向_的非零向量叫做平行向量,也叫做共 线向量.向量a平行于b,记作ab.规定_平行于任何向量.长度等于零 长度(或模)为1个单位 长度相等 相同或相反 零向量 方向相同【思考】(1)0与0相同吗?0是不是没有方向?提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.(2)若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系?提示:若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?提示:向量平行与几何中的平行不同,向量平行包括基线重合的情况,故也称向量共线.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个有共同起点,
4、且长度相等的向量,它们的终点相同.()(2)任意两个单位向量都相等.()(3)平行向量的方向相同或相反.()(4)若 ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.()AB CD2.下列物理量:位移;力;加速度;路程;密度.其中不是向量的 有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.既有大小,又有方向,是向量;只有大小,没有方向,不是向量.3.(教材二次开发:习题改编)如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则选项中与 相等的向量是()【解析】选D.由题图知,与 相等的向量是:OAA.OB B.OD C.BC D.EFOADO CB EF.，关键能力合作学习 类型一 向量的概念、
5、零向量、单位向量(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.以下选项中,都是向量的是()A.正弦线、海拔 B.质量、摩擦力 C.三角形的边长、体积 D.余弦线、速度 2.下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 3.给出下列说法:零向量是没有方向的;零向量的方向是任意的;单位向量的模都相等,其中正确的是_(填上序号).【解题策略】1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素:(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.2.理解零向量和单位向量应
6、注意的问题(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:两个单位向量的长度相等,但这两个单位向量不一定相等.【补偿训练】下列说法正确的是()A.有向线段 与 表示同一向量 B.两个有公共终点的向量是平行向量 C.零向量与任意向量共线 D.对任意向量a,是一个单位向量 ABBAaa类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.已知点O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,表示 出各向量,如图所示.(1)与 相等的向量有_,与 相等的向量有_.(2)与 共线的向量有_.(3)与 的模相等的向量有_.
7、AOBOAOAO2.(2020包头高一检测)下列说法正确的是()A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线 B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线 C.向量 与 是共线向量,则A,B,C,D四点一定共线 D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 ABCD【解题策略】(1)寻找相等向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向且共线的.(2)寻找共线向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.(3)共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向
8、相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.【补偿训练】1.在等腰梯形ABCD中,ABCD,对角线AC与BD相交于点O,EF是过点O且平行于AB 的线段,在所标的向量中:(1)写出与 共线的向量.(2)写出与 方向相同的向量.(3)写出与 ,的模相等的向量.(4)写出与 相等的向量.ABEFOBODEO2.四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两 个交点作为向量,则与 平行且长度为 的向量个数有_个.2 2AC类型三 向量的表示与应用(数学运算、逻辑推理)角度1 几何应用 【典例】如图的方格由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成,方格纸中有定 点A,
9、点C为小正方形的顶点,且|=,画出所有的向量 .AC5AC【思路导引】起点为A,只需确定模与方向即可.【解析】画出所有的向量 ,如图:AC【变式探究】如图所示,在四边形ABCD中,N,M分别是AD,BC上的点,且 .求证:ABDC,CNMADNMB.角度2 实际应用 某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了10 米到 达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作出向量(2)求 的模.【思路导引】可先选定向量的起点及方向,并根据其长度作出相关向量.可把 放在直角三角形中求得|.AB BC CD.，2ADADAD【解题策略】(1)用有向线段表示向量时,先确定起
10、点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.(2)利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但需说明两向量所在的基线无公共点.用平行向量可证明(判断)直线平行,但证明直线平行时,除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点.【题组训练】1.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:(1),使|=4 ,点A在点O北偏东45.(2),使|=4,点B在点A正东.(3),使|=6,点C在点B北偏东30.OAOA2ABABBCBC2.四边形ABCD中,=,且|=|,tan D=,则四边形ABCD的形状 为_.ABDCABAC3【补偿训练】如图所示,平行四边形ABC
11、D中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S=A,B,C,D,O,向量集合T=|M,NS,且M,N不重合.试求集合T中元素的个数.MN1.下列说法正确的是()A.方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量【解析】选B.对A,由于0与任意向量平行,所以A错误;对B,零向量的长度是0,正确;对C,长度相等的向量方向不一定相同,故C错误;对D,共线向量不一定在同一条直线上,故D错误.课堂检测素养达标 2.下列命题中,正确的是()A.|a|=|b|a=b B.|a|b|abC.a=bab D.|a|=0a=0【解析】选C.两个向
12、量模相等,方向不一定相同,向量不一定相等,A错;向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,B错;向量相等,方向相同,一定是共线向量,C正确;若|a|=0a=0,故D错.3.设M是等边ABC的中心,则 是()A.有相同起点的向量 B.相等的向量 C.模相等的向量 D.平行向量【解析】选C.由正三角形的性质知,|MA|=|MB|=|MC|.所以 AM MB MC，MAMBMC.4.(教材二次开发:习题改编)已知如图的方格纸(每个方格的单位长度为1).(1)画出 ,使|=3,点A在点O的正西方向.|=3 ,点B在点O北偏西45方向.(2)求出|的值.OA OB，OAOB2AB5.如图,是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以 从A处跳到A1处,用向量 表示马走了“一步”,也可以跳到A2处,用向量 表示.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.1AA2AA