1、8.2空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基【基础集训】考点空间点、线、面的位置关系1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线CC1B.直线C1D1C.直线HC1D.直线GH答案C2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4B.5C.6D.7答案C3.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.给出下列四个命题:若mn,m,则n;若mn,m,则n;若m,m,则;若n,n,则.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A4.已知正
2、方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.45B.35C.23D.57答案B5.在三棱锥A-BCD中,AC=BC=CD=BD=2,AB=AD=2,则AB与CD夹角的余弦值为.答案246.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点,则异面直线AD与GF所成的角的余弦值为.答案367.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点.证明(1
3、)如图所示,连接EF、CD1、A1B.E、F分别是AB,AA1的中点,EFBA1,又A1BD1C,EFD1C,E、C、D1、F四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE与D1F必相交,设交点为P.则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD,同理,P平面ADD1A1,又平面ABCD平面ADD1A1=DA.P直线DA,CE、D1F、DA三线共点.综合篇知能转换【综合集训】考法一平面的基本性质及应用1.(2018四川泸州模拟,6)设a,b是空间中不同的直线,是不同的平面,则下列说法正确的是()A.ab,b,则aB.a,b,则abC.a,b,a,b,则D.,a,则a答案D2.(2018江西期中,
4、4)如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点A B.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案D3.(2018河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是SAB和SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能答案B4.(2018皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于点B,C),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为.答案0,12考法二求异面直线
5、所成角的方法5.(2018河北、山西、河南三省4月联考,10)在三棱锥P-ABC中,ABC和PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A.58B.34C.78D.14答案A6.(2019江西八校联考,10)在四面体ABCD中,BDAD,CDAD,BDBC,BD=AD=1,BC=2,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.105B.31010C.155D.1010答案D7.(2019豫西南五校3月联考,8)已知矩形ABCD,AB=2,BC=22,将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()A.存在某个位置,使得直线B
6、D与直线AC垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线BC与直线AD垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直答案B【五年高考】考点空间点、线、面的位置关系1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn答案C2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是
7、异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D4.(2015浙江,4,5分)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A.若l,则B.若,则lmC.若l,则D.若,则lm答案A5.(2018课标全国,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72答案C6.(2016课标全国,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的
8、顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A7.(2019课标全国,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线答案B8.(2015课标,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=
9、4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为9779也正确.思路分析(1)由于AE=82+42=8010,知H不在AA1或BB1上,分别在AB,CD上取点H,G,使AH=DG=10,连接EH、FG,则
10、四边形EFGH即为所求.(2)作EMAB于M点,易得MH=EH2-EM2=6,则AH=10.所求两个几何体的体积之比即为两等高梯形的面积之比.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共65分)1.(2020届福建三明一中10月月考,5)设l为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若l,l,则D.若,l,则l答案B2.(2020届上海七宝中学10月月考,14)下列命题正确的是()A.如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线
11、平行于这个平面D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行答案D3.(2019黑龙江哈师大附中期中,5)若m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列说法中正确的是()A.,m,nmnB.,C.,mn,mnD.=m,=n,mn答案C4.(2019福建福州3月质检,6)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c平面,则aB.若c平面,则a,bC.存在平面,使得c,a,bD.存在平面,使得c,a,b答案C5.(2020届湖南长沙一中第二次月考,9)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1的中点为M,BC的中点为N,ABC=120,AB=
12、2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与MN所成角的正弦值为()A.1B.45C.34D.0答案A6.(2020届山东济南济钢高级中学10月月考)已知m,n为直线,为平面,且m,则“nm”是“n”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B7.(2018黑龙江哈师大附中三模,11)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AD的中点,过点B1且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为()A.5B.25C.26D.6答案C8.(2019甘肃兰州一中模拟,6)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有
13、()A.4条B.6条C.8条D.12条答案B9.(2019辽宁沈阳四校联考,3)设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.,=m,mnnB.,=n,m,mmnC.mn,m,nD.m,nmn答案B10.(2019豫南豫北精英对抗赛,6)在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.23B.24C.144D.-24答案B11.(2019湘东六校12月联考,9)如图为一个正四面体的表面展开图,G为BF的中点,则在原正四面体中,直线EG与直线BC所成角的余弦值为()A.33B.63C.36D.336答案C12.
14、(2018内蒙古赤峰4月模拟,8)在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为()A.90B.60C.45D.30答案C13.(2020届广东百校联考,10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=2,点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,则异面直线AD1与OE所成的角为()A.30B.45C.60D.90答案C二、多项选择题(共5分)14.(2020届山东夏季高考模拟,11)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则()A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98D.点C与点G到平面AEF的距离相等答案BC三、填空题(共5分)15.(2020届广东广雅中学、执信中学、六中、深外四校八月联考,16)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M称为图形M在这个平面上的射影.如图,在长方体ABCD-EFGH中,AB=5,AD=4,AE=3.则EBD在平面EBC上的射影的面积是.答案234