1、1.6 三角函数模型的简单应用 必备知识自主学习 1.三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用.导思(1)如何应用三角函数的知识解决物理中的有关问题?(2)如何建立三角函数模型解决生活中的有关问题?【思考】现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述?提示:一般应用三角函数模型.2.利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步:阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题.第二步:收集、整理数据,建立
2、数学模型.根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现实际问题的数学化.第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步:将所得结论转译成实际问题的答案.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)函数y=的周期为.()(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s,振幅为5 cm,则该振子在2 s内通 过的路程为50 cm.()(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin ,则当t=s时,电流强度I为 A.()1|sin x|2(
3、50 t)4 11005 222.电流I(A)随时间t(s)变化的解析式是I=2sin 100 t,t(0,+),则电流I变 化的周期是()A.B.100 C.D.50【解析】选C.由T=,得T=11001502|21.100503.(教材二次开发:练习改编)如图为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要_s往返一次.关键能力合作学习 类型一 三角函数图象问题(直观想象)【题组训练】1.函数y=ln cos x 的大致图象是()(x)22 2.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(),角速 度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()22，【解题策略】解决函数
4、图象与解析式对应问题的策略:一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决,如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域,此外特殊点也可以作为判断的好方法.【补偿训练】如图是函数y=sin x(0 x)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x轴的平行线,交其图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是()类型二 三角函数在物理中的应用(数学建模)【典例】某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数 关系:f(t)=10-2sin ,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11,则在哪段时间实验室需要
5、降温?(t)123【思路导引】(1)由t ,求得 结合正弦函数的图象求得 的最大值与最小值;(2)由10-2sin 11,可得 结合正弦函数的图象求得t的取值范围.0 24)，7t12333，)，(t)123f(t)1sin(t)1232 ，【解题策略】物理问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用物理、数学等知识才能解决,其中最重要的是:(1)熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论,有助于解决此类问题;(2)由于应用题的背景比较新颖,情景比较陌生,所以解题的关键是读懂题目,理解题意,弄清每个词语的含义,领会每一个词语的数学意义,再结合相关学科的知识理解问题,从而解决问题.【跟踪训练】单摆从某点
6、开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的 函数解析式为s=6sin .(1)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?(2)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?(3)单摆来回摆动一次需多长时间?(2 t)6 类型三 三角函数在实际生活中的应用(数学建模)【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0t24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.51.01.5经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos t+b的图象.(1)根据以
7、上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式.(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?【思路导引】(1)根据y的最大值和最小值求A,b,定周期求.(2)解不等式y1,确定有多少时间可供冲浪者活动.【变式探究】若将本例(2)中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何?【解析】由y=+11.25得 kZ,即12k-2t12k+2,kZ.又0t24,所以0t2或10t14或22t24,所以在规定时 间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动,即10ts2 B.s10,而图中显然是小于零,因此排除选项B.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10(x)6 5.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数解析式为_.