1、高考资源网（） 您身边的高考专家第十一节导数在研究函数中的应用【最新考纲】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数2函数的极值与导数(1)函数的极
2、小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左侧f(x)0，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.()(2)函数的极大值一定比极小值大()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()答案：(1)(2)(3)(4)2(2014课标全国卷)若函数f(x)kxln x
3、在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，) D1，)解析：由f(x)k，又f(x)在(1，)上单调递增，则f(x)0在x(1，)上恒成立，即k在x(1，)上恒成立又当x(1，)时，01，故k1.答案：D3(2016威海一模)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_解析：依题意可知，函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.由f(x)0得0x0f(x)min0；(2)存在xA，f(x)0f(x)max0.2在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较三个条件1在某区间内f(x)0(f(x)0
4、)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零3对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件三点注意1求单调区间应遵循定义域优先的原则2f(x0)0时，x0不一定是极值点3求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论一、选择题1当函数yx2x取极小值时，x()A.BCln 2 Dln 2解析：y2xx2xln 20，x.经检验，x时函数取极小值，所以x.答案：B2(2016临沂模拟
5、)已知f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图象如图，则函数f(x)的极小值是()Aabc B8a4bcC3a2b Dc解析：由导函数f(x)的图象知，当x0时，f(x)0，当0x0，所以函数f(x)的极小值为f(0)c.答案：D3函数yxex的最小值是()A1 BeC D不存在解析：yexxex(1x)ex，令y0，则x1，因为x1时，y1时，y0，所以x1时，ymin.答案：C4设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：f(x)在x2处取得极小值，当x2时，f(x)单调递减，即f(x)2时f(x)单调递增，即
6、f(x)0.当x0；当x2时，yxf(x)0；当2x0时，yxf(x)0时，yxf(x)0.结合选项中图象知选C.答案：C5(2016云南师大附中月考)若函数f(x)x3tx23x在区间1，4上单调递减，则实数t的取值范围是()A(， B(，3C，) D3，)解析：f(x)3x22tx3，由于f(x)在区间1，4上单调递减，则有f(x)0在1，4上恒成立，即3x22tx30，即t(x)在1，4上恒成立因为y(x)在1，4上单调递增，所以t(4).答案：C二、填空题6函数f(x)1xsin x在(0，2)上的单调情况是_解析：在(0，2)上有f(x)1cos x0，所以f(x)在(0，2)上单调
7、递增答案：单调递增7已知函数f(x)x312x8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_解：由题意，得f(x)3x212，令f(x)0，得x2，又f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，Mm32.答案：328设函数f(x)x32x5，若对任意的x1，2，都有f(x)a，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a0；当x(2，ln 2)时，f(x)0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解：
8、(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)f(x)ln xx2，f(x)x.当xe时，令f(x)0得x1；令f(x)0，得10，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值解：(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x)，所以当xr时，f(x)0.当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100.高考资源网版权所有，侵权必究！
