1、第26讲 圆的方程学校_ 姓名_ 班级_一、 知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.二、 考点和典型例题1、圆的方程【典例1
2、-1】已知圆方程的圆心为（）ABCD【答案】C【详解】解：因为，即，所以圆心坐标为；故选：C【典例1-2】当圆的圆心到直线的距离最大时，（）ABCD【答案】C【详解】解：因为圆的圆心为,半径，又因为直线过定点A(-1,1),故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有，即，解得.故选：C.【典例1-3】过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（）ABCD【答案】B【详解】过点作直线的垂线，垂足为，则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，其中，设，则，解得：，故的中点，即圆心为，即，故该圆为故选：B【典例1-4】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（）AB
3、2C4D【答案】A【详解】由恒过，又，即在圆C内，要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由，圆的半径为5，所以.故选：A【典例1-5】与圆C：关于直线对称的圆的方程为（）ABCD【答案】C【详解】圆C：的圆心，半径设点关于直线的对称点为，则，所以圆C关于直线的对称圆的方程为，故选:C2、与圆有关的最值问题【典例2-1】已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【详解】解：因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以实数的取值范围是，故选：B.【典例2-2】已知点是圆上的动点，则的最大值为（）ABC6D5【答案】A【详解】由，令，
4、则，所以当时，的最大值为.故选：A【典例2-3】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【详解】解：直线整理可得，即直线恒过，同理可得，直线恒过，又，直线和互相垂直，两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，圆心距，两圆相离，的取值范围是故选：B【典例2-4】如图，P为圆O：x2+y24外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，APB120，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（）AB2CD【答案】A【详解】解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，APB120，由圆与切线的平面几何性质
5、知，APO60，又|OA|2，则可得|OP|在直角中，由得，Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y23；|MQ|的最小值即为|OM|r故选：A【典例2-5】已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）ABCD【答案】B【详解】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：在PAC中,有，即，变形可得：.设，则.所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.而的最小值为点C到直线的距离，即，所以.故选：B3、与圆有关的轨迹问题【典例3-1】正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（）A线段B直线C射线D圆
6、【答案】D【详解】解：方法一：由题可知：，又所以，即所以点C的轨迹是圆.方法二：由题可知：，如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以设 ，又所以整理得：所以点C的轨迹是圆.故选：D.【典例3-2】直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程【答案】【详解】设，易知直线恒过定点，再由，得，整理得点M应在圆内且不在x轴上，所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为【典例3-3】已知圆，直线l满足_（从l过点，l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，
7、求AB中点M的轨迹方程.【答案】条件选择见解析，答案见解析.【详解】选择条件，设点，令定点为P，因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有，当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，因此有，而，于是得，即，由解得，而直线与圆相切的切点在圆C内，由点M在圆C内，得且，所以AB中点M的轨迹方程是：(且).选择条件，设点，因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，因此，M的轨
8、迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，由解得或，而点M在圆C内，则有，所以AB中点M的轨迹方程是：.【典例3-4】已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)设，点A在圆，所以有：，P是A，B的中点，即，得P得轨迹方程为：；(2)联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，设到直线MN得距离为d，则,所以，；(3)作出关于轴得对称点，如图所示；连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，此时，所以的最小值为.
