1、73.5已知三角函数值求角课程目标 1.会由已知三角函数值求角2了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角3已知三角函数值，会使用计算器求角填一填1已知正弦值，求角对于正弦函数ysinx，如果已知函数值y(y1,1)，那么在上有唯一的x值和它对应，记作xarcsiny.2已知余弦值，求角对于余弦函数ycosx，如果已知函数值y(y1,1)，那么在0，上有唯一的x值和它对应，记作xarccosy(1y1,0x)3已知正切值，求角如果正切函数ytanx(yR)且x，那么对每一个正切值y，在开区间内有且只有一个角x，使tanxy，记作xarcta
2、ny.答一答1如何理解反正弦函数？提示：(1)已知三角函数值求角，实际上是求三角函数的反函数问题，根据反函数的概念，当函数由定义域到值域一一对应时，才存在反函数，也就是说，在函数的一个单调区间上，该函数才有反函数，因此arcsiny(其中|y|1)只表示上正弦值等于y的角，原因是是函数ysinx的一个单调区间，对于每一个可能的值y(|y|1)，在这个区间上都有唯一的x值和它对应；反之，对于上每一个x的值，在区间1,1上都有唯一的y值和它对应，因此，函数ysinx在上存在反函数，并且把这个反函数记为xarcsiny，因此它的定义域为1,1，值域为.(2)要熟练地记住下列特殊的y值对应的角，arc
3、sin；arcsin；arcsin等对于非特殊值，要会用反三角符号表示角，如sinx时，xarcsin，若sinx时，xarcsinarcsin.即yarcsinx表示内的一个角2怎样由三角函数值求角？提示：已知角x的一个三角函数值，求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当三角函数值不是1或0时，可以分为以下几步来解决：第一步，确定角x可能是第几象限角确定的方法有两种：一是借助单位圆运用三角函数线来判断，根据已知的三角函数值，画出相应的三角函数线二是借助三角函数的图像来思考第二步，如果函数值为正数，则先
4、求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出(0,2)内对应的角如果是第二象限角，那么可表示为x1，如果是第三或第四象限角，那么可表示为x1或x12.第四步，如果要求出(0,2)以外对应的角，可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果具体见下表：类型一已知正弦值求角 例1已知sinx.(1)当x时，求x的取值集合；(2)当x0,2时，求x的取值集合；(3)当xR时，求x的取值集合分析尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解解(1)ysinx在上是增函数，且sin.x，是所求集合(2)sinx0，x为第一或
5、第二象限的角且sinsin.在0,2上符合条件的角有x或x.x的取值集合为.(3)当xR时，x的取值集合为.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用.变式训练1已知sin，在下列条件下求：(1)；(2)R.解：(1)arcsin，.(2)sin，R，2karcsin2k，或2k2arcsin2k2k(kZ)即2k或2k(kZ)类型二已知余弦值求角 例2已知cosx0.287.(1)当x0，时，求x；(2)当xR时，求x的取值集合分析解答本题可先求出定义arccos的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合解(1)cosx0.287，且x
6、0，xarccos(0.287)(2)当xR时，先求出x0,2上的解cosx0.287，故x是第二或第三象限角，由(1)知x1arccos(0.287)是第二象限角cos(2arccos(0.287)cos(arccos(0.287)0.287，且2arccos(0.287)，x22arccos(0.287)由余弦函数的周期性知，当x2kx1或x2kx2，kZ时，cosx0.287.即所求x值的集合是：x|x2karccos(0.287)，kZcosxa(1a1)，当x0，时，则xarccosa，当xR时，可先求得0，2内的所有解，再利用周期性可求得：x|x2karccosa，kZ.变式训练2
7、已知cos，求.解：由余弦函数在0，上是减函数和cos可知，在0，内符合条件的角有且只有一个arccos，即arccos0，又cos0，arccos.0arcccos.arccos，即2arccos.2arccos.类型三已知正切值求角 例3(1)已知tanx且x，求x；(2)已知tanx且x0,2，求x的取值集合；(3)已知tanx且xR，求x的取值集合分析根据正切值，遵循相关步骤求角解(1)在区间上ytanx是增函数，符合条件的角是唯一的xarctan.(2)tan()tan，xarctan或xarctan.所求x的集合是.(3)由(2)可知：xkarctan或xkarctan(kZ)，所
8、求x的取值集合为x|xkarctan(kZ)已知三角函数的正切值求角，要结合角所属的范围和正切函数在此区间上的单调性来确定.变式训练3已知tan2，(1)；(2)0,2；(3)R，求角.解：(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan2的角只有一个，即arctan(2)(2)tan20，所以是第二或第四象限角又0,2，由正切函数在区间，上是增函数知，符合tan2的角有两个tan()tan(2)tan2且arctan(2).arctan(2)或2arctan(2)(3)karctan(2)(kZ)类型四综合应用 例4已知A，B为ABC的两个内角，且满足sinAcosB，tanA.求AB
9、C三个内角的度数分析先将后一个条件切化弦，再考虑三角消元解tanA，.将sinAcosB代入，有.若cosB0，则sinA0，而A，B(0，)此时无解cosB0，cosAsinB.由sinAcosB及cosAsinB，平方后相加得2cos2Bsin2B1，即sin2B，sinB.0B，sinB，B或.当B时，sinAcos，A或(舍)当B时，sinAcos与0A矛盾故A，B，C.(1)本题运用了三角消元方法，它是处理多角度问题的一种常见方法.(2)在求出角B后进行了讨论，舍去其中这种情况.另外在求得角A后又进行讨论，它们都是围绕三角形内角和展开的.有时仅这一点还不够，还必须借助其他条件进行取舍
10、.)变式训练4计算下列各题：(1)sin(arcsinx)(1x1)；(2)cos(arccosx)(1x1)；(3)sin(arccosx)(1x1)；(4)sin(arctanx)(xR)解：(1)1x1，arcsinx，设arcsinx，xsin，sin(arcsinx)sinx.(2)1x1，arccosx0，设arccosx，xcos，cos(arccosx)cosx.(3)1x1，arccosx0，设arccosx，xcos，sin(arccosx)sin.(4)xR，arctanx，设arctanx，xtan，sin(arctanx)sin，即已知tanx，且时，求sin的值xtan，x2，sin(sin的正负由x确定)1若sinx，x，则角x等于(B)Aarcsin BarcsinC.arcsin Darcsin解析：sinx，x为第二象限角，xarcsin.2若x且cosx，则x等于(C)Aarccos BarccosCarccos Darccos解析：x，xarccosarccos.3方程tanx(x)的解集是(C)A. B.C. D.解析：tantan，tantan，又，在(，)内，故选C.4tan.解析：令arccos，0，则cos，sin，tan.