1、宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年上学期期中考试高二数学试卷注 意：1本试题满分160分，考试时间：120分钟2答题前请将试卷答题卷密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题3将答案填写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束只交答题卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。只填结果，不要过程！）1、过点且与直线垂直的直线的方程为 ；2、过三点和原点的圆的标准方程为 ；3、已知中，则边上的高的长为 ；4、已知两条直线若直线与直线平行，则实数 ；5、已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题：若l，m，则lm； 若l，l，m，则lm；若lm，m，则l； 若l，m，则l
2、m.其中真命题是 (写出所有真命题的序号)6、若两圆，相外切，则实数 ；7、若满足约束条件则的最小值是 ；8、过平面区域内一点作圆的两条切线,切点分别为,记,当最小时,此时点坐标为 ； 9、右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米；10、已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为 ；11、已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，若的最小值为此时点的纵坐标的值为则 ；12、在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心, 为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 ；13、已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角
3、形的面积的最大值是 ；14、已知椭圆，是椭圆的左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的倍，则该椭圆离心率的取值范围是 ；二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、（14分） 如图,已知斜三棱柱中,为的中点.ABCDA1B1C1(第15题)(1) （7分）若，求证:；(2) （7分）求证:/ 平面16、（14分）如图,在四棱锥中, ,为的中点.D CB AE P（第16题图）目求证:(1) （7分）平面;(2) （7分）平面.17、（14分）（1）（7分）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，焦距为，求椭圆的标准方程；(2) （7分）已知双曲线的渐近线方
4、程为，准线方程为，求该双曲线的标准方程.18、（16分）已知三个顶点坐标分别为：，直线经过点 (1) （5分）求外接圆的方程；(2) （5分）若直线与相切，求直线的方程；(3) （6分）若直线与相交于两点，且，求直线的方程 19、（16分）已知直线与圆相交于两点，弦的中点为，（1）（4分）求实数的取值范围以及直线的方程；（2）（4分）若圆上存在四个点到直线的距离为，求实数的取值范围；（3）（8分）已知，若圆上存在两个不同的点，使，求实数的取值范围.20、（16分）在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.(1) （6分）求椭圆的方程;(2) （10分）在椭圆上
5、,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.高二数学期中考试数学参考答1、 2、 3、 4、5、6、 7、3 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、15、【答案】证明:(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以ADBC. 2分ABCDA1B1C1（第15题图）O 因为，所以， 4分，所以平面BCC1B1 ， 6分 因为DC1平面BCC1B1,所以ADDC1 7分(2) 连结A1C,交AC1于点O,连结OD, 则O为A1C的中点. 因为D为BC的中点,所以OD/A1B 9分因为OD平面ADC1,A1B平面AD
6、C1, 12分所以A1B/平面ADC1 14分16、证明:(1)取中点,连结,为中点,且=. 2分且,且=.四边形为平行四边形. . 4分平面,平面, 平面. 7分FPEABCD（第16题图） (2),平面. 9分平面,. 10分,为的中点,. 12分,平面. 14分 17解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得， 3分所以所求椭圆的标准方程为 7分（选修1135页5（1）！（2）由题意知双曲线标准方程为：， 所以， ， 9分又，解得， 11分所以所求双曲线标准方程为. 14分18 解：（1）解法1：设的方程为： 则由题意得 解得 的方程为，或 5分解法2：的横坐标相同，故可设，由 得，解得，
7、的方程为，或解法3：， ，则是等腰直角三角形， 因而圆心为，半径为，的方程为 (2)当直线与轴垂直时，显然不合题意，因而直线的斜率存在，设， 由题意知，解得或， 8分故直线的方程为或 10分（3）当直线与轴垂直时，方程为，它截得弦长恰为； 12分当直线的斜率存在时，设，圆心到直线的距离， 由勾股定理得，解得， 14分故直线的方程为或 16分19、课本必修215改编！解：（1）圆 1分据题意： 2分因为所以直线的方程为 4分（2）与直线平行且距离为的直线为：过圆心，有两个交点， 6分与圆相交， 8分（3）设 12分据题意：两个圆相交： 14分且，所以： 16分20.解析:（1）因为,所以,于是. 1分设椭圆上任一点,则(). 2分当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得,与假设不符合,舍去. 4分当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得.于是,椭圆的方程是. 6分(2)圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为,于是. 8分而是椭圆上的点,所以,即,于是,而,所以,所以, 10分于是当时,取到最大值,此时取到最大值,此时,. 12分综上所述,椭圆上存在四个点、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为. （每一个点坐标写出各1分，计4分！） 16分