1、第1讲数列的概念及简单表示法基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1数列0,1,0,1,0,1,0,1,的一个通项公式是an等于()A. Bcos Ccos Dcos 解析令n1,2,3,逐一验证四个选项,易得D正确答案D2(2014西安摸底)数列an满足an1an2n3,若a12,则a8a4()A7 B6 C5 D4解析依题意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3),即an2an2,所以a8a4(a8a6)(a6a4)224.答案D3数列an的前n项和为Sn,若a11,an13Sn(n1),则a6等于()A344 B3441 C45 D451解析当n1时,an13Sn,则
2、an23Sn1,an2an13Sn13Sn3an1,即an24an1,该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列又a23S13a13,an当n6时,a63462344.答案A4设an3n215n18,则数列an中的最大项的值是()A. B. C4 D0解析an32,由二次函数性质,得当n2或3时,an最大,最大为0.答案D5(2014东北三校联考)已知数列an的通项公式为ann22n(nN),则“1”是“数列an为递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析若数列an为递增数列,则有an1an0,即2n12对任意的nN都成立,于是有32,.由1可推
3、得,但反过来,由不能得到1,因此“1”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件,故选A.答案A二、填空题6(2015宜春双基测试)已知数列an的前n项和Snn22n1(nN),则an_.解析当n2时,anSnSn12n1,当n1时,a1S14211,因此an答案7数列an中,a11,对于所有的n2,nN,都有a1a2a3ann2,则a3a5_.解析由题意知:a1a2a3an1(n1)2,an2(n2),a3a522.答案8数列an中,已知a11,a22,an1anan2(nN),则a7_.解析由已知an1anan2,a11,a22,能够计算出a31,a41,a52,a61,a71.答案1三、解
4、答题9已知数列an中,an1(nN,aR,且a0)(1)若a7,求数列an的最大项和最小项的值;(2)若对任意的nN,都有ana6成立,求实数a的取值范围解(1)因为an1(nN,aR,且a0),又a7,所以an1.结合函数f(x)1的单调性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN)所以数列an中的最大项为a52,最小项为a40.(2)an11.因为对任意的nN,都有ana6成立,结合函数f(x)1的单调性,所以56,解得10a8.故实数a的取值范围是(10,8)10(2015陕西五校模拟)设数列an的前n项和为Sn,且Sn4anp,其中p是不为零的常数(1)证明:数列an是等比数列
5、;(2)当p3时,数列bn满足bn1bnan(nN),b12,求数列bn的通项公式(1)证明因为Sn4anp,所以Sn14an1p(n2),所以当n2时,anSnSn14an4an1,整理得.由Sn4anp,令n1,得a14a1p,解得a1.所以an是首项为,公比为的等比数列(2)解当p3时,由(1)知,ann1,由bn1bnan,得bn1bnn1,当n2时,可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11,当n1时,上式也成立数列bn的通项公式为bn3n11.能力提升题组(建议用时:25分钟)11数列an的通项an,则数列an中的最大项是()A3 B19 C. D.解析因为an,
6、运用基本不等式得,由于nN,不难发现当n9或10时,an最大答案C12(2015大庆质量检测)已知数列an满足an1anan1(n2),a11,a23,记Sna1a2an,则下列结论正确的是()Aa2 0141,S2 0142 Ba2 0143,S2 0145Ca2 0143,S2 0142 Da2 0141,S2 0145解析由an1anan1(n2),知an2an1an,则an2an1(n2),an3an,an6an,又a11,a23,a32,a41,a53,a62,所以当kN时,ak1ak2ak3ak4ak5ak6a1a2a3a4a5a60,所以a2 014a41,S2 014a1a2a
7、3a4132(1)5.答案D13(2014山西四校联考)已知数列an的前n项和为Sn,Sn2ann,则an_.解析当n2时,anSnSn12ann2an1(n1),即an2an11,an12(an11),数列an1是首项为a112,公比为2的等比数列,an122n12n,an2n1.答案2n114设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3),an1Sn3n,nN.(1)设bnSn3n,求数列bn的通项公式;(2)若an1an,nN,求a的取值范围解(1)依题意,Sn1Snan1Sn3n,即Sn12Sn3n,由此得Sn13n12(Sn3n),又S131a3(a3),故数列Sn3n是首项为a3,公比为2的等比数列,因此,所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1,nN.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1,nN,于是,当n2时,anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2,当n1时,a1a不适合上式,故anan1an43n1(a3)2n22n2,当n2时,an1an12n2a30a9.又a2a13a1.综上,所求的a的取值范围是9,)