1、第4讲垂直关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有D不一定成立，故选D.答案D2设a是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是()A过a一定存在平面，使得B过a一定存在平面，使得C在平面内一定不存在直线b，使得abD在平面内一定不存在直线b，使得ab解析当a与相交时，不存在过a的平面，使得，故A错误；直线a与其在平面内的投影所确定的平面满足，故选B；平面内的直线b只要垂直于
2、直线a在平面内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与平行时，在平面内存在直线b，使得ab，故D错误答案B3. 如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPBPCCPAPBPCDPAPBPC解析M为AB的中点，ACB为直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.答案C4(2015青岛质量检测)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是()Aa，b， Ba，b，Ca，b， Da，b，解析A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不
3、正确；C中，由，a可得a，又b，得ab，故正确；D中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确答案C5. (2015深圳调研)如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以选C.答案C二、填空题6. 如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是
4、圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，且BCPCC，AF平面PBC，AFPB，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF.故正确答案7如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析PC在底面ABCD上的射影为AC，且ACBD，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC
5、平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC)8设，是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用代号表示)解析假如为条件，即mn，n，m成立，过m上一点P作PBn，则PBm，PB，设垂足为B.又设m，垂足为A，过PA，PB的平面与，的交线l交于点C.因为lPA，lPB，所以l平面PAB，所以lAC，lBC.所以ACB是二面角l的平面角由mn，显然PAPB，所以ACB90，所以.由成立反过来，如果成立，与上面证法类似可得成立答案()三、解答题9. (2014西安测试)如
6、图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AC2BC，D是棱AA1的中点，CDB1D.(1)证明：CDB1C1；(2)平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D为AA1的中点，故DCDC1，又AA12A1C1，可得DCDC2CC，所以CDDC1，而CDB1D，B1DC1DD，所以CD平面B1C1D，因为B1C1平面B1C1D，所以CDB1C1.(2)解由(1)知B1C1CD，且B1C1C1C，C1CCDC，则B1C1平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1VB1CDA1C1S梯形CDA1
7、C1B1C1B1CB1C.V总VABCA1B1C1ACBCCC1B1C，V2V总V1B1CV1，故11.10. 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABA
8、D，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD，又PAADA.所以CD平面PAD.从而CDPD.又E，F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.故CDEF，由EF，BE平面BEF，且EFBEE.所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.能力提升题组(建议用时：25分钟)11. 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部解析由BC1AC，又BAAC，则AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射
9、影H在直线AB上答案A12(2014衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45解析对于A，由于AA1ABAD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是A1BD的外心，而A1BA1DBD，故点H是A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1BD，CD1A1B，故平面A1BD平面CB1D1，而AH平面A1BD，从而AH平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH平面CB1D1，因此AH的延
10、长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即A1AC1，而tanA1AC1，因此命题D是假命题答案D13(2014河南师大附中二模)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；又平面PAD平面A
11、BC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确答案14如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小(1)证明因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PA底面ABCD，所以PABD，因为ACPAA，所以BD平面PAC，所以BDPC.如图，设ACBDF，连接EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC
12、，从而，.所以，又FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90.由此知PCEF.又BDEFF，所以PC平面BED.(2)解在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin .所以PD与平面PBC所成的角为30.
