1、第八章 平面解析几何 8.6 双曲线 考向归纳考向1双曲线的定义及应用1.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A. B. C. D.【解析】由e2得，c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.【答案】A2已知F1，F2为双曲线1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.4 B.4C.2 D.2【解析】由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|
2、AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|AP|AF1|2a2.故选C.【答案】C3已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为双曲线C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_【解析】由双曲线C：1，知a3，b4，则c5，|PQ|4b16.F(5,0)，点A(5,0)为右焦点又右焦点A(5,0)在线段PQ上，知点P、Q在双曲线的右支上根据双曲线定义，|PF|PA|6，|QF|QA|6.相加得，|PF|QF|(|PA|QA|)12，于是|PF|QF|12|PQ|28.从而PQF的周长为|PF|QF|PQ|
3、44.【答案】44“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧1常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用2技巧：经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系提醒：利用双曲线的定义解决问题，要注意三点：(1)距离之差的绝对值(2)2a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.【答案】(1)A(2)D1求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，写出方程(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类
4、讨论或恰当设置简化讨论常见设法有：与双曲线1共渐近线的可设为(0)；若渐近线方程为yx，则可设为(0)；若过两个已知点，则设为1(mn0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两渐近线方程0.变式训练1(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.【解析】由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l
5、上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】依题意，由直线l：y2x10.令y0，得双曲线的一个焦点为(5,0)，c5，则a2b225，又双曲线1的一条渐近线为y2x.所以2，即b2a，联立方程，得a25，b220.故所求双曲线方程为1，故选A.【答案】A考向3双曲线与直线、圆、椭圆的综合问题(1)已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，) (2)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.【解析
6、】(1)双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，e，故选C.(2)由椭圆C1：y21知焦点F1(，0)，F2(，0)，由于四边形AF1BF2为矩形，知AF1AF2，因此|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，联立得|AF2|AF1|2，于是双曲线C2中，有2a2，2c2，故双曲线C2的离心率e，故选D.【答案】(1)C(2)D解决与双曲线有关综合问题的方法1解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解2解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，
7、但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍变式训练1(2014山东高考)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0【解析】由题意知e1，e2，e1e2.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，14，即14，解得，.令0，解得bxay0，xy0.【答案】A2设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，过点F且斜率为1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若3，则双曲线C的离心率e()A. B. C. D.【解析】设F(c,0)，则过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作斜率为1的直线为y(xc)，而双曲线的渐近线方程是yx，由得B，由得A，又3，则3，即ba，则ca，则e.故选D.【答案】D