1、安徽省太和一中2021届高三数学二模试题 理考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A. B. C. D. 2.设集合，则A. B. C. D. 3.已知公差不为0的等差数列中，是，的等比中项，则的前5
2、项之和A.30B.45C.63D.844.函数的图象在点处的切线方程为A. B. C. D. 5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的登鹳雀楼，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为A.65米B.74米C.83米D.92米6.“”是“”的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件7.已知在四边形中，是的中点，则A. B.2C.3D.48.函数的图象大致为 A. B. C.
3、 D.9.若，则A. B.0C. D. 或010.若，为正实数，且，则的最小值为A. B. C.2D.411.已知是定义在上的奇函数，恒有，且当时，则A.1B.2C.3D.412.设函数是函数的导函数，若对于任意的，恒有，则函数的零点个数为A.0B.1C.2D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若变量，满足约束条件，则的最大值为_.14.已知向量，则_.15.已知数列的前项和为，且，则数列的前项和_.16.若函数在定义域内满足：对任意的，且，有，则称函数为“类单调递增函数”.下列函数是“类单调递增函数”的有_（填写所有满足题意的函数序号）.；.三、解答题：共70分.解答应
4、写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）已知在中，角，的对边分别为，.（）求的值；（）若，求的面积.18.（12分）如图，在四棱锥中，为的中点.（）证明：；（）若，求二面角的余弦值.19.（12分）2020年全球暴发新冠肺炎疫情，其最大特点是人传人，传播快，病亡率高.通过佩戴口罩可以有效地降低病毒传染率.在某高风险地区，公共场合未戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，现有在公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊5个人，每个人是否被感染相互独立.（）若他们都未戴口罩，求其中恰有
5、3人被感染的概率；（）若他们中有3人戴口罩，设5人中被感染的人数为，求：（i）；（ii）.附：对于两个随机变量、，有.20.（12分）已知椭圆的长轴长为4，上顶点为，左、右焦点分别为，且，为坐标原点.（）求椭圆的方程.（）设点，为椭圆上的两个动点，若，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数.（）讨论的单调性； （）若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为
6、平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（）求曲线的直角坐标方程和的普通方程；（）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（）求不等式的解集；（）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值.太和一中2020-2021学年度高三二模理科数学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.C2.D3.B4.A5.B6.C7.C8.B9.A10.B11.C12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.614. 15. 16.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17
7、.【命题意图】本题考查解三角形，三角恒等变换及正、余弦定理的应用.【解析】（）由条件和正弦定理得，（2分）得.（4分）因为，所以，（5分）所以由正弦定理可得.（6分）（）因为，所以由余弦定理得，（7分）即，解得，（8分）则.（9分）又，（10分）所以.（12分）18.【命题意图】本题考查线面平行的证明，利用空间向量求二面角.【解析】（）取的中点，连接，.因为为的中点，所以.（1分）因为，所以.（2分）又，所以四边形是矩形，所以.（3分）因为，所以平面.（4分）因为，所以.（5分）（）由已知和（）可得，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.（6分）设，则，所以，所以，（7分）设平面的一个法向量
8、为.则即令，得.（9分）设平面的一个法向量为，则即令，得.（10分）所以.故二面角的余弦值为.（12分）19.【命题意图】本题考查相互独立事件的概率计算公式，概率的实际应用.【解析】（）若他们都未戴口罩，则恰有3人被感染的概率是.（3分）（）（i）当被感染的两人都未戴口罩时，；（5分）当被感染的两人中，只有一人戴口罩时，；（6分）当被感染的两人都戴口罩时，.（7分）所以.（8分）（i）设戴口罩的3人被感染的人数为，则，（9分）设未戴口罩的2人被感染的人数为，则，（10分）所以.（12分）20.【命题意图】本题考查椭圆的性质以及应用，直线与椭圆的位置关系，定值问题.【解析】（）设椭圆的半焦距为，
9、由已知可得，解得.（1分）因为，易得在中，.所以，解得.（3分）所以椭圆的方程为.（4分）（）当直线的斜率不存在时，.由可得.结合椭圆的对称性，可设，则.（5分）将点代入椭圆的方程，得，解得，所以.（6分）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，此时点到直线的距离，即.（7分）设，由可得，则，得.所以，.（8分）所以 .（9分）又因为，所以，即，解得.（10分）所以，得.（11分）综上所述，点点到直线的距离是，是定值.（12分）21.【命题意图】本题考查导数及其应用，考查不等式恒成立求参数取值范围.【解析】（）由已知可得.（1分）当时，在上单调递增.（2分）当时，令，解得.当时，单调递增；当时，单
10、调递减.（4分）综上，当时，在上单调递增；当，在上单调递增，在上单调递减.（5分） （），则.（6分）若函数有两个极值点，则，是方程的两个不等正实根.所以解得.（7分）所以，所以.（8分）要使恒成立，只需恒成立.由可得.（9分）令，则，（10分）当时，为减函数，所以.（11分）所以要使恒成立，只需满足.所以实数的取值范围是.（12分）22.【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系的应用.【解析】（）曲线的直角坐标方程为，即.（2分）曲线的参数方程为（为参数），消去参数，可得的普通方程为.（4分）（）曲线的参数方程可写为（为参数），（6分）代入曲线的普通方程，得，整理得.（7分）设，所对应的参数分别为，则（8分）所以.（10分）23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想.【解析】（）（2分）由，可得或或（3分）解得或或.（4分）所以不等式的解集为.（5分）（）由（）易求得，即.（6分）所以，即.（7分）因为点到直线的距离，（9分）所以的最小值为.（10分）