1、安徽省淮北市2021届高三数学二模试题 文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ax|x1，Bx|x21，则AB（）A（0，+）B（1，1）C1，1）D（1，+）2设复数zi2021+1（i是虚数单位），是z的共轭复数，则z2（）A3iB1+3iC1iD13i3设a2，b2，c，则（）AabcBacbCcbaDcab4若实数x，y满足约束条件，则zxy的最小值为（）A3B2C1D05在ABC中，“sinAcosB”是“ABC为锐角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6在平行四边形ABCD中，若2，AE交BD于F点，则（）A
2、BCD7九章算术商功中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也意思是：如图，沿正方体对角面A1B1CD截正方体可得两个堑堵，再沿平面B1C1D截堑堵可得一个阳马（四棱锥DA1B1C1D1），一个鳖臑（三棱锥DB1C1C），若P为线段CD上一动点，平面过点P，CD平面，设正方体棱长为1，PDx，与图中的鳖臑截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是（）ABCD8若正项等比数列an的公比为e（e是自然对数的底数），则数列lna2n1是（）A公比为e2的等比数列B公比为2的等比数列C公差为2e的等差数列D公差为2的等
3、差数列9已知函数f（x）2cosxsinx，当x时，f（x）取到最大值，则sin（）ABCD10如图，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|2|OF1|，ABF1，则双曲线的离心率为（）ABCD11已知圆C1：x2+y22，圆C2：（x2）2+y24若过（0，2）的直线l与圆C1、C2都有公共点，则直线l斜率的取值范围是（）A，1BCD12若关于x的不等式lnx+a0有且只有两个整数解，则正实数a的取值范围是（）A（3ln3+1，4ln2+4Bln2+1，3ln3+1）C（ln2+，3ln3+1D（3ln2+1，2ln3+3二、填空题
4、：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13若数列an的前n项和为Snn2+n，则an 14已知f（x）为偶函数当x0时，f（x）exex2（e是自然对数的底数）则曲线yf（x）在x1处的切线方程是 15已知抛物线C：y24x的焦点为F（O为坐标原点），过点F的直线l交抛物线C于点A，B，若|FA|FB|，则OAB的面积为 16已知在正三棱锥SABC中，点D，E分别是SA，SB的中点，ABSB6，则直线DE被三棱锥外接球O截得的线段长为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考
5、题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知abcosCccosB（）求证：ABC是直角三角形；（）若|+|2，且AB2，求ABC的面积18如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，M是AD中点四边形ABCM为正方形，且ABAA1A1D12（）求证：直线DD1平面B1CM；（）求D点到平面B1CM的距离192021年2月25日，全国脱贫攻坚表彰大会在北京隆重召开，习近平总书记在讲话中指出，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消
6、除贫困的艰巨任务脱贫攻坚决战取得了全面胜利为了防止返贫监测和建立帮扶机制，采取有效举措巩固脱贫攻坚成果，某市统计局统计出该市居民2014至2020年人均月支配收入散点图如图：（年份用末尾数字减3表示，2020年用7表示）（）由散点图可知，人均可支配月收入y（万元）与年份x之间具有较强的线性关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到0.001），依此相关关系预测2021年该市人均可配月收入；（）在2016到2020年的五个年份中随机抽取两个数据作进一步样本分析，求所取得的两个数据中，人均可支配月收入恰好有一个超过5000元的概率（，）20已知椭圆E：+1（ab0），其短轴为2，离心率为（）求椭圆E
7、的方程；（）设椭圆E的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由21设函数f（x）excosxax，aR（其中f（x）是f（x）的导函数）（）当a1时，判断函数f（x）在（0，+）上的单调性；（）若F（x）f（x）ax+a1，证明：当a1，2）时，函数F（x）有2个零点（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标
8、原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为cos（+）4（）写出曲线C1，C2的普通方程；（）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2xa|+|x+|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（1）4，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ax|x1，Bx|x21，则AB（）A（0，+）B（1，1）C1，1）D（1，+）解：Ax|x1，Bx|1x1，AB（1，1）故选：B2设复数zi2021+1（i是虚数单位），是z的共轭复数，则z2（）A3i
9、B1+3iC1iD13i解：zi2021+1（i4）505i+1i+1，则z21i（1+i）21i12i+113i故选：D3设a2，b2，c，则（）AabcBacbCcbaDcab解：alog22log32log34log331，blog2log320，c2，0c2201acb，故选：B4若实数x，y满足约束条件，则zxy的最小值为（）A3B2C1D0解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（0，3），由zxy，得yxz，由图可知，当直线yxz过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于033故选：A5在ABC中，“sinAcosB”是“ABC为锐角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不
10、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：若B为钝角，A为锐角，则sinA0，cosB0，则满足sinAcosB，但ABC为锐角三角形不成立，若ABC为锐角三角形，则A，B，AB都是锐角，即AB，即A+B，BA，则cosBcos（A），即cosBsinA，故“sinAcosB”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B6在平行四边形ABCD中，若2，AE交BD于F点，则（）ABCD解：如图所示：由，则点E为CD的中点，在平行四边形ABCD中，DEAB，所以，则，故选：D7九章算术商功中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也意思
11、是：如图，沿正方体对角面A1B1CD截正方体可得两个堑堵，再沿平面B1C1D截堑堵可得一个阳马（四棱锥DA1B1C1D1），一个鳖臑（三棱锥DB1C1C），若P为线段CD上一动点，平面过点P，CD平面，设正方体棱长为1，PDx，与图中的鳖臑截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是（）ABCD解：如图，设DC1N，DB1M，CD，CDPN，则DPN为等腰直角三角形，则PNx，B1C1平面DCC1，B1C1DC1，DC平面PMN，DC平面B1C1C，平面PMN平面CB1C1，而平面DC1B1平面PMNMN，平面DC1B1平面CB1C1C1B1，MNB1C1，可得MND
12、C1，则由DPPNx，得DN，即MN，S（0x1）则S关于x的函数图象大致是B故选：B8若正项等比数列an的公比为e（e是自然对数的底数），则数列lna2n1是（）A公比为e2的等比数列B公比为2的等比数列C公差为2e的等差数列D公差为2的等差数列解：正项等比数列an的公比为e（e是自然对数的底数），a2n1，lna2n1lna1+2n22n+（lna12），数列lna2n1是公差为2的等差数列故选：D9已知函数f（x）2cosxsinx，当x时，f（x）取到最大值，则sin（）ABCD解：f（x）2cosxsinx，其中cos，sin，当+2k时，sinsin（2k）sin故选：C10如图，
13、F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|2|OF1|，ABF1，则双曲线的离心率为（）ABCD解：F1、F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，在RtABF1中，|OF1|c，|AB|2c，在直角三角形ABF1中，ABF1，可得|AF1|2csin，|BF1|2ccos，连接AF2，BF2，可得四边形AF2BF1为矩形，|BF2|AF2|AF1|AF2|2c|cossin|2a，e，cos（+）cos，e，故选：A11已知圆C1：x2+y22，圆C2：（x2）2+y24若过（0，2）的直线l与圆C1、C2都有公共点，则直线l斜率的取值
14、范围是（）A，1BCD解：由题意可知，过（0，2）的直线与两个圆相切，即可满足题意，就是图形中的两条红色直线之间的部分，所以直线方程为ykx+2，所以，解得k1，k1（舍去），2，解得k，（k0的解舍去），所以直线l斜率的取值范围是故选：D12若关于x的不等式lnx+a0有且只有两个整数解，则正实数a的取值范围是（）A（3ln3+1，4ln2+4Bln2+1，3ln3+1）C（ln2+，3ln3+1D（3ln2+1，2ln3+3解：原不等式可化简为xlnx+14aax，设f（x）xlnx+1，g（x）4aax，由f（x）xlnx+1得，f（x）lnx+1，易知函数f（x）在单调递减，在单调递增
15、，作出f（x）的图象如下图所示，而函数g（x）4aax恒过点C（4，0），要使关于x的不等式lnx+a0有且只有两个整数解，则函数g（x）的图象应介于直线AC与直线BC之间（可以为直线BC），又A（2，2ln2+1），B（3，3ln3+1），故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13若数列an的前n项和为Snn2+n，则ann解：数列an的前n项和为Snn2+n，则anSnSn1n2+n（n1）2n+1n故答案为：n14已知f（x）为偶函数当x0时，f（x）exex2（e是自然对数的底数）则曲线yf（x）在x1处的切线方程是y（e12e）x+2e
16、1+e解：由f（x）为偶函数，可得f（x）f（x），当x0时，f（x）exex2，可得x0时，f（x）f（x）exex2，所以x0时，f（x）的导数为f（x）ex2ex，可得曲线yf（x）在x1处的切线斜率为e12e，切点为（1，e1e），所以曲线yf（x）在x1处的切线方程是ye1+e（e12e）（x1），即为y（e12e）x+2e1+e故答案为：y（e12e）x+2e1+e15已知抛物线C：y24x的焦点为F（O为坐标原点），过点F的直线l交抛物线C于点A，B，若|FA|FB|，则OAB的面积为解：抛物线C：y24x的焦点为F（1，0），准线方程为x1，由|FA|FB|，可得AB的斜率存在
17、，设为k，k0，过F的直线AB的方程为yk（x1），与抛物线的方程y24x联立，可得k2x2（2k2+4）x+k20，设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x22+，x1x21，由抛物线的定义可得|AF|BF|x1+1x21x1x2，解得k，即有直线AB的方程为y（x1），可得O到直线AB的距离为d，|AB|x1+x2+22+2，所以ABO的面积为Sd|AB|故答案为：16已知在正三棱锥SABC中，点D，E分别是SA，SB的中点，ABSB6，则直线DE被三棱锥外接球O截得的线段长为 3解：根据题意，D，E分别是正三棱锥SABC的棱SA，SB的中点，直线DE被三棱锥外接球O截得的线段长，等
18、价于求直线DE与SAB的外接圆的相交的弦长ABSB6，SAB是等腰直角三角形，作出直线DE与SAB的外接圆的相交的弦，则弦FG的长即为直线DE被三棱锥外接球O截得的线段长，FG23，故答案为：3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知abcosCccosB（）求证：ABC是直角三角形；（）若|+|2，且AB2，求ABC的面积【解答】（）证明：由正弦定理知，abcosCccosB，sinAsinBcosC
19、sinCcosB，即sinBcosC+cosBsinCsinBcosCsinCcosB，cosBsinC0，B，C（0，），cosB0，即B，故ABC是直角三角形（）解：+（+）2+，|+|2，|+|2|2+|24|2+4+|212，B，AB2，4|2+2212，即|，ABC的面积SABBC218如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，M是AD中点四边形ABCM为正方形，且ABAA1A1D12（）求证：直线DD1平面B1CM；（）求D点到平面B1CM的距离【解答】（）证明：连结A1M，因为A1D12，正方形ABCM中，BCAB2，且BCAM，又M为AD的中点，所以MDAM
20、2，且A1D1AD，所以A1D1MD，且A1D1MD，故四边形A1MDD1为平行四边形，则DD1A1M，又A1M平面B1CMA1，DD平面B1CMA1，所以DD1平面B1CM；（）解：因为AA1平面ABCD，所以，因为CM2，所以，设D1点到平面B1CM的距离为h，则，解得，由（1）可知，DD1平面B1CM，则点D1点到平面B1CM的距离h，即为D点到平面B1CM的距离，故D点到平面B1CM的距离为192021年2月25日，全国脱贫攻坚表彰大会在北京隆重召开，习近平总书记在讲话中指出，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困
21、得到解决，完成了消除贫困的艰巨任务脱贫攻坚决战取得了全面胜利为了防止返贫监测和建立帮扶机制，采取有效举措巩固脱贫攻坚成果，某市统计局统计出该市居民2014至2020年人均月支配收入散点图如图：（年份用末尾数字减3表示，2020年用7表示）（）由散点图可知，人均可支配月收入y（万元）与年份x之间具有较强的线性关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到0.001），依此相关关系预测2021年该市人均可配月收入；（）在2016到2020年的五个年份中随机抽取两个数据作进一步样本分析，求所取得的两个数据中，人均可支配月收入恰好有一个超过5000元的概率（，）解：（）由散点图知，（1+2+3+4+5+6+
22、7）4，（0.4+0.39+0.45+0.48+0.6+0.62+0.7）0.52，xiyi0.4+0.78+1.35+1.92+3+3.72+4.916.07，1+4+9+16+25+36+49140，0.054，0.520.05440.304，所以y关于x的回归方程y0.054x+0.304，由2021年对应的x8，y0.528+0.3040.736，依此相关关系预测2021年该市人均可配月收入0.736万元；（）在2016到2020年的五个年份中，人均可支配月收入分别为4500，4800，6000，6200，7000；其中低于5000元的有2个，记为A、B，超过5000元的有3个，记为c
23、、d、e，从这5个数中随机抽取2个，基本实践为：AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10个，恰好有一个超过5000元的事件为Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共6个，故所求的概率为P20已知椭圆E：+1（ab0），其短轴为2，离心率为（）求椭圆E的方程；（）设椭圆E的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由解：（）由题意可知：2b2，b1，椭圆的离心率e，则a，椭圆的标准方程：；（）设直线MN的方程为yk（x2）（k0），消去y整理得：
24、（1+2k2）x28k2x+8k220设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2，k1+k2+k2k20k1+k20为定值21设函数f（x）excosxax，aR（其中f（x）是f（x）的导函数）（）当a1时，判断函数f（x）在（0，+）上的单调性；（）若F（x）f（x）ax+a1，证明：当a1，2）时，函数F（x）有2个零点解：（）当a1时，f（x）excosxx，f（x）ex+sinx1，令H（x）f（x），则H（x）ex+cosx，x（0，+），ex1，1cosx1，H（x）0，H（x）在（0，+）单调递增，H（x）H（0）e010，f（x）在（0，+）单调递增；（）证
25、明：F（x）f（x）ax+a1ex+sinxaax+a1ex+sinxax1，当x0时，由于F（0）e0+sin0010，故x0是F（x）的一个零点；令M（x）F（x）ex+cosxa，则M（x）exsinx，1a2，当x（0，+）时，ex1，故M（x）1sinx0，M（x）在（0，+）单调递增，M（x）M（0）2a0，F（x）在（0，+）上单调递增，F（x）F（0）0，此时F（x）在（0，+）无零点；当x（，时，ax，F（x）ex+sinxax1ex+sinx+10，F（x）在（，无零点；当x（，0）时，sinx0，M（x）exsinx0，M（x）在（，0）单调递增，M（）e+cos（）a0
26、，M（0）e0+1a0，由零点存在性定理可知，存在x0（，0），使得M（x0）0，且x（，x0）时，M（x）F（x）0，F（x）单调递减，x（x0，0）时，M（x）F（x）0，F（x）单调递增，又F（）e+sin（）a（）10，F（x0）F（0）0，F（x）在（，0）有一个零点，综上，当a1，2）时，函数F（x）有2个零点（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为cos（+）4（
27、）写出曲线C1，C2的普通方程；（）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值解：（）由（t为参数），两式平方作和可得x2+y21（x1）；由cos（+）4，得，即，可得x曲线C1，C2的普通方程分别为x2+y21（x1）；x（）设P（cos，sin），（02且），则P到直线x的距离d|2cos（）8|cos（）4|PA|cos（）4|当cos（）1时，当cos（）1时，选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2xa|+|x+|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（1）4，求实数a的取值范围解：（）证明：f（x）|2xa|+|x+|，f（x）在（，）单调递减，在，单调递减，在（，+）上单调递减，f（x）minf（）+2，当且仅当x且a2时取最小值，f（x）2；（）f（1）|2a|+|1+|4（a0），|2a|3，30，解得：a，当a2时，有2a3，a2或a1，结合得：1a2，当a2时，有a23，2a，综上：实数a的取值范围是（1，）
