1、3.1.3导数的几何意义内容标准学科素养1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义2.会求简单函数的导函数3.根据导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程.利用数学抽象发展逻辑推理提高数学运算授课提示：对应学生用书第53页基础认识知识点一导数的几何意义导数f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在xx0附近的变化情况那么，导数f(x0)的几何意义是什么呢？如图，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？ 提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为
2、点P处的切线割线PPn的斜率是kn.当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率因此，函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即k f(x0)知识梳理(1)导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即kf(x0) .(2)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线知识点二导函数的概念知识梳理从求函数f(x)在xx0处导数的过程可以看到，当xx0时，f(x0)是一个确定的数这样，当x变化
3、时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作y.即f(x)y .自我检测1已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A4B16C8 D2答案：C2曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程为_答案：4xy10授课提示：对应学生用书第54页探究一导数几何意义的应用阅读教材P77例2如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况题型：导数几何意义的应用方法步骤：分别观察得出h(t)在t0，t1，t2处的导数，即切线的斜率的大小导数是
4、刻画函数的变化快慢情况的量得出t0处h(t)几乎没有升降又h(t1)h(t2)0，h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢例1如图表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)4t2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t2时的切线方程解析用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况(1)当tt0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当tt1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，即函数f(t)在tt1附
5、近单调递减；(3)当tt2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数f(t)在tt2附近也单调递减由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；(4)当t2时，f(2)0.在t2时的切线的斜率kf(2) (2t4)4.所以切线的方程为y4(x2)，即4xy80.方法技巧函数yf(x)在点P处的切线的斜率，即函数yf(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率一般地，切线的斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线的变化就越
6、慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由曲线在点P附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在P处的切线的斜率的大小跟踪探究1已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析：从图象上可以看出f(x)在x2处的切线的斜率比在x3处的斜率大，且均为正数，所以有0f(3)f(2)，此两点处的斜率比f(x)在x2处的切线的斜率小，比f(x)在x3处的切线的斜率大，所以0f(3)f(3)f(2)f(2)，故选B.答案：B探究二求
7、曲线在某点处的切线方程教材P110复习参考题A组1题已知点P和点Q是曲线yx22x3上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求：(1)割线PQ的斜率；(2)点P处的切线方程解析：(1)由题可知P(1，4)，Q(4,5)，kPQ3.割线PQ的斜率为3.(2)点P处切线的斜率ky|x1 x0，当x1时y4，P处切线方程为y4.例2求曲线y在点处的切线方程解析因为y|x2 ，所以这条曲线在点处的切线斜率为，由直线的点斜式方程可得切线方程为y(x2)，即x4y40.方法技巧求曲线在某点处的切线方程的步骤 跟踪探究2.曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_解析：k (x4)4
8、，曲线在P处的切线方程为y54(x2)，即y4x3，令x0得y3, 切线与y轴交点的纵坐标是3.答案：33若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值解析：yx33ax.y 3x23xx(x)23a3x23a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得a1.探究三求曲线过某点的切线例3已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程解析y (4x2x)4x.由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)，将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02
9、或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.方法技巧求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤(1)设切点为A(xA，f(xA)，求切线的斜率kf(xA)，写出切线方程(2)把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程跟踪探究4.求过点A(2,0)且与曲线y相切的直线方程解析：易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y|xx0 ，得所求直线方程为yy0(xx0)由点(2,0)在直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所求直
10、线方程为xy20.授课提示：对应学生用书第55页课后小结(1)导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度(2)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点素养培优切线问题中忽视切点的位置致误求过曲线f(x)x32x上的点(1，1)的切线方程易错分析求过一点P的曲线的切线方程，该点P不一定是切点，易把P点当作切点求解致误考查数学抽象及逻辑推理的数学素养自我纠正设P(x0，y0)为切点，f(x0) 3x2，所以切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y，即xy20或5x4y10.