1、专题5圆周运动及其应用(建议用时40分钟)1.(2019杭州模拟)“达芬奇塔”位于阿联酋的迪拜,计划于2020年竣工,该建筑每层楼都能独立旋转,因转速不快,大楼中的人并不会感觉到眩晕,图甲所示为该建筑五种不同形态,图乙为某层楼的平面图。当图乙所在楼层正在匀速转动时,以下说法正确的是()A.处于A点和B点的物体合力为0B.处于A点和B点的物体合力方向相同C.处于A点和B点的物体角速度相同D.处于A点和B点的物体线速度相同【解析】选C。由于A、B两点都做匀速圆周运动,故合外力不等于0且指向圆心,故A、B错误;由图可知A、B两点的角速度相同,A点到圆心的距离大于B点到圆心的距离,根据v=r可知A点的
2、线速度大于B点的线速度,故C正确,D错误。2.汽车在公路上行驶时一般不打滑,轮子转一周,汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm,当该型号的轿车在高速公路上匀速行驶时,驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上,可估算出该车轮的转速近似为()A.1 000 r/sB.1 000 r/minC.1 000 r/hD.2 000 r/s【解析】选B。设经过时间t,轿车匀速行驶的路程x=vt,此过程中轿车轮缘上的某一点转动的路程x=nt2R,其中n为车轮的转速,由x=x可得:vt=nt2R,n=17.7 r/s=1 062 r/min。B正确。3.(多选)火车以60
3、 m/s的速率转过一段弯道,某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10。在此10 s时间内,火车()A.运动路程为600 mB.加速度为零C.角速度约为1 rad/sD.转弯半径约为3.4 km【解析】选A、D。圆周运动的弧长s=vt=6010 m=600 m,选项A正确;火车转弯是圆周运动,圆周运动是变速运动,所以合力不为零,加速度不为零,故选项B错误;由题意得圆周运动的角速度=3.14 rad/s= rad/s,又v=r,所以r=180 m=3 439 m,故选项C错误、D正确。4.如图所示是磁带录音机的磁带盒的示意图,A、B为缠绕磁带的两个轮子边缘上的点,两轮的半径均为r,
4、在放音结束时,磁带全部绕到了B点所在的轮上,磁带的外缘半径R=3r,C为磁带外缘上的一点。现在进行倒带,则此时()A.A、B、C三点的周期之比为313B.A、B、C三点的线速度之比为313C.A、B、C三点的角速度之比为133D.A、B、C三点的向心加速度之比为613【解析】选B。靠传送带传动轮子边缘上的点具有相同的线速度,故A、C两点的线速度相等,即:vAvC=11;C的半径是A的半径的3倍,根据v=r,知AC=31。B与C属于同轴转动,所以B=C。根据周期与角速度的关系:T=,所以:=;B=C,则TB=TC;所以A、B、C三点的周期之比为133。故A错误;B与C的角速度相等,由v=r可知:
5、vBvC=13;所以A、B、C三点的线速度之比为313。故B正确;由于AC=31,B=C。所以A、B、C三点的角速度之比为311。故C错误;向心加速度a=v,所以aAaBaC=AvABvBCvC=331113=913。故D错误。5.我国高铁技术目前发展迅猛,银川作为省会城市,没有高铁的历史即将结束。目前已经开始铺轨的银西高铁,横跨陕甘宁三省,极大地缩短了银川到西安的运行时间。设计图纸在一处半径为3 000 m的弯道处标明设计时速为144 km/h(此时车轮轮缘不受力)。已知我国的轨距为1 500 mm,且角度较小时可认为tan =sin ,重力加速度g取10 m/s2,则高铁在通过此弯道时内、
6、外轨高度差为()A.8 cmB.9 cmC.10 cmD.11 cm【解析】选A。半径R=3 000 m,时速v=144 km/h=40 m/s,根据牛顿第二定律得mgtan =m,tan =sin =,解得:h=8 cm,故A正确。6.如图所示,物块在水平圆盘上,与圆盘一起绕固定轴匀速运动,下列说法中正确的是()A.物块处于平衡状态B.物块受三个力作用C.在角速度一定时,物块到转轴的距离越远,物块越不容易脱离圆盘D.在物块到转轴的距离一定时,物块运动周期越小,物块越不容易脱离圆盘【解析】选B。对物块进行受力分析可知,物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力,合力提供向心力
7、,A错误,B正确;根据向心力公式Fn=mr2可知,当一定时,半径越大,所需的向心力越大,物块越容易脱离圆盘,C错误;=,则Fn=mr,可知当物块到转轴的距离一定时,周期越小,所需的向心力越大,物块越容易脱离圆盘,D错误。7.(2019宁波模拟)如图是“用圆锥摆验证向心力表达式”实验方案的示意图,用长为L的细线拴一个质量为m的小球,使小球在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向间的夹角为,下列说法错误的是()A.向心力是细线的拉力和小球所受重力的合力B.小球圆周运动的半径为LC.用秒表记下小球运动n圈的时间t,从而求出转动周期的平均值D.向心力的大小等于mgtan【解析】选B。小球在水平面内做匀
8、速圆周运动,对小球受力分析,如图所示:小球受重力和绳子的拉力,由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动,故在物理学上,将这个合力就叫作向心力,即向心力是按照力的效果命名的,这里是重力和拉力的合力,根据几何关系可知:F向=mgtan,故A、D说法正确;由几何关系知小球圆周运动的半径r=Lsin,故B说法错误;用秒表记下小球运动n圈的时间t,则转一圈的时间即周期T=,故C说法正确。8.(多选)如图甲所示,倾角45的斜面置于粗糙的水平地面上,有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连(绳与斜面平行),滑块质量为2m,滑块能恰好静止在粗糙的斜面上。在图乙中,换成让小球在水平面上做匀
9、速圆周运动,轻绳与竖直方向的夹角为,且45,两幅图中,滑块、斜面都静止,则以下说法中正确的是()A.滑块受到斜面的最大静摩擦力为mgB.甲图中斜面受到地面的摩擦力方向水平向左C.乙图滑块受到的摩擦力可能沿斜面向下D.乙图滑块受到的摩擦力可能为零【解析】选B、D。甲图中滑块所受的摩擦力为f甲=2mgsin 45-mg=(-1)mg;乙图中绳的最大拉力为T=mg,此时对滑块:f乙=2mgsin 45-mg=0,则滑块受到斜面的最大静摩擦力为(-1)mg,选项A错误;甲图中以斜面和滑块组成的整体为研究对象进行受力分析,水平方向:f=Tcos ,方向水平向左,故B正确;由以上分析可知,当=45时,f乙
10、=2mgsin 45-mg=0,选项D正确;当45时,Tmg,此时f乙=2mgsin 45-mg0,即乙图滑块受到的摩擦力沿斜面向上,选项C错误。故选B、D。9.甲、乙两名溜冰运动员,M甲=80 kg,M乙=40 kg,面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演,如图所示。两人相距0.9 m,弹簧秤的示数为9.2 N,下列判断中正确的是()A.两人的线速度相同,约为40 m/sB.两人的角速度相同,为5 rad/sC.两人的运动半径相同,都是0.45 mD.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m【解析】选D。弹簧秤对甲、乙两名运动员的拉力提供向心力,根据牛顿第二定律得:M甲R甲=M乙R乙
11、=9.2 N,由于甲、乙两名运动员面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演,所以甲=乙,所以=,则R甲=0.3 m,R乙=0.6 m,由于v=R,知两人的线速度不相等,根据F=M甲R甲,解得:甲= rad/s,故D正确。10.如图所示,质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中,盒子的边长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,已知重力加速度为g,空气阻力不计,要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力,则()A.该盒子做圆周运动的向心力一定恒定不变B.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于 2C.盒子在最低点时,小球对盒子的作用力大小等于mgD.盒子在与O点等高的右侧位置时,小
12、球对盒子的作用力大小等于mg【解析】选B。向心力的方向始终指向圆心,是变化的,故A错误;在最高点,由mg=mR得,周期T=2,故B正确;盒子在最低点,由F-mg=mR和mg=mR可得F=2mg,故C错误;盒子在与O点等高的右侧位置时,盒子底部的支持力等于重力mg,而盒子侧壁的支持力也等于mg,两者相互垂直,所以盒子对小球的作用力等于mg,根据牛顿第三定律,小球对盒子的作用力大小等于mg,故D错误。11.如图所示,一质量为m=0.5 kg的小球(可视为质点),用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2,求:(1)小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为多大?(2)当
13、小球在最高点的速度为4 m/s时,轻绳拉力多大?(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的速度不能超过多大?【解析】(1)在最高点,对小球受力分析如图甲,由牛顿第二定律得mg+F1=由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力,F1不可能取负值,即F10联立得v,代入数值得v2 m/s所以小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为2 m/s。(2)v2=4 m/s时,mg+F2=m,解得F2=15 N。(3)由分析可知,小球在最低点时轻绳的张力最大,对小球受力分析如图乙,由牛顿第二定律得F3-mg=将F3=45 N代入得v3=4 m/s即小球的速度不能超过4 m/s。答案:(1)2 m/s(2)
14、15 N(3)4 m/s12.如图所示,在光滑的水平面上相距0.1 m处钉两枚铁钉A、B,长1 m的柔软细线一端拴在A上,另一端拴一质量为500 g的小球,小球的初始位置在AB连线上的A的一侧,把细线拉直,给小球以2 m/s垂直于细线方向的水平速度,使它做圆周运动。由于钉子B的存在,使细线逐渐缠绕在AB上,问:线全部缠绕在钉子上的时间是多少?如果细线的抗断张力为7 N,从开始经多长时间细线断裂?【解析】细线上的力始终指向圆心,与速度方向垂直,向心力只改变速度的方向,而不会改变速度的大小,即小球在运动过程中,线速度大小始终保持不变,半径R逐渐变小,向心力F=m逐渐变大。运动的半个周期t=随细线的减小而减小。推算出每个半周期的时间及周期数,就可求出总时间。根据细线能承受的最大拉力,可求出细线拉断所经历的时间。在第一个半周期内:F1=m,t1=在第二个半周期内:F2=m,t2=在第三个半周期内:F3=m,t3=依此类推,在第n个半周期内:Fn=m,tn=由于:=10,所以n10(1)小球从开始运动到细线完全缠到A、B上的时间:t=t1+t2+t10= s8.6 s;(2)设在第x个半周期时,Fx=7 N。由Fx=m代入数据得:7 N=0.5解得x=8.1,取x=8。代入第1题表达式得:t=t1+t2+t3+t8=8.2 s答案:8.6 s8.2 s
