1、专题四立体几何基础知识点 条件 结论线线平行线面平行面面平行垂直关系线线平行如果ab，bc，那么ac 如果a，a，=b，那么ab如果，=a，=b，那么ab如果a，b，那么ab线面平行如果ab，a，b，那么a如果，a，那么面面平行如果a，b，c，d，ac，bd，ab=P，那么如果a，b,ab=P,a,b，那么如果，那么如果a，a，那么 条件 结论线线垂直线面垂直 面面垂直平行关系线线垂直二垂线定理及逆定理如果a，b，那么ab如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直如果ab，ac，那么bc线面垂直如果ab，ac，b，c，bc=P，那么a如果，=b，a,ab，那么a如果a，ba，那么b面面垂直定义
2、（二面角等于900）如果a，a，那么一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且为正三角形。（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）若，求三棱锥的体积。ABCA1B1C1MN例2. 如图，已知三棱柱中，底面，分别是棱，中点. （）求证：平面； （）求证：平面；（）求三棱锥的体积变式1. 如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，分别是的中点。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）设，求三棱锥的体积。变式2.如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为截面，且，,，（）证明：截面四边形是菱形；（）求几何体的体积二、线面平行与垂直的性质例3.如图4，在四棱
3、锥中，平面平面，是等边三角形，已知， （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积例4、如图，四棱锥PABCD中，平面ABCD，底面为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，（I）求证：； （II）求三棱锥CDEG的体积； （III）AD边上是否存在一点M，使得平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。变式3. 直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.()求证：AC平面BB1C1C；() A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.三、三视图与折叠问题4422444正视图侧视图俯视图例5、如图是一
4、几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。ABEPDC（1） 若为的中点，求证：面；（2） 证明：面；（3） 求三棱锥的体积。例6.已知四边形是等腰梯形，（如图1）。现将沿折起，使得（如图2），连结。（I）求证：平面平面；（II）试在棱上确定一点，使截面把几何体分成两部分的体积比；（III）在点满足（II）的情况下，判断直线是否平行于平面，并说明理由。图1图2变式4.一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点.科网（I）求证：PB/平面AEC；（II）求四棱锥的体积；（）若F为侧棱PA上一点，且，则为何值时，平面BDF.变式5. 如图1所示，正的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别
5、是AC，BC的中点。现将沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥C-DEF的体积。四、立体几何中的最值问题例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A= AB=2.(1)求证: BC平面A1AC； (2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.图4ABCA1例8. 如图，在交AC于 点D,现将（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为变式6. 如图3，已知在中，平面ABC，于E，于F，当变化时，求三棱锥体积的最大值。图3专题升级训练
6、立体几何（1）(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是()A B C D2用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()来源:学.科.网Z.X.X.K3在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧(左)视图可以为()4(2012北京丰台区三月模拟，5)若正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是()A4 B44C8 D445(2012浙江宁波十校联考，12)已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角
7、三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为()A1 B2 C3 D4 6(2012山东济南三月模拟，8)若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是()A2712 B912C273 D5437(2012浙江宁波模拟，13)已知一个正三棱锥的正(主)视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧(左)视图的周长为()A5 B56C66 D3128长方体的三条棱长分别为1，则此长方体外接球的体积与面积之比为()A B1 C2 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9(2012浙江宁波十校联考，15)已知两个圆锥有公共底面，且两
8、圆锥的顶点和底面圆周都在半径为3的同一个球面上若两圆锥的高的比为12，则两圆锥的体积之和为_10(2012江苏南京二模，11)一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x6 cm时，该容器的容积为_cm3.11如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_12(2012浙江湖州中学模拟，16)底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AA1
9、的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O所截得的线段长为_三、解答题(本大题共4小题，共44分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13(本小题满分10分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积14(本小题满分10分)斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB，AC都成45角(1)求这个三棱柱的侧面积；(2)求这个三棱柱的体积15(本小题满分12分)(2012安徽安庆二模，18)如图，几何体ABCEFD是由直三棱柱截得的，EFAB，AB
10、C90，AC2AB2，CD2AE.(1)求三棱锥DBCE的体积；(2)求证： CEDB16(本小题满分12分)(2012河北邯郸一模，19)已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且ABC60，ABEC2，AEBE，O为AB的中点(1)求证：EO平面ABCD；(2)求点D到平面AEC的距离1下图是一个几何体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧(左)视图为直角三角形，尺寸如图所示)(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若G为BC的中点，求证：AEPG.2有一根长为3 cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的
11、两端，则铁丝的最短长度为多少？3如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE平面CBB1.(1)证明：DE平面ABC；来源:学&科&网(2)求四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比4如图所示，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=2，G是EF的中点(1)求证：平面AGC平面BGC；(2)求三棱锥AGBC的体积5已知正四面体ABCD(图1)，沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)(1)证明：ABCD；(2)当A1
12、D10，A1A28时，求四面体ABCD的体积6如图，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点(1)求证：PA平面CDM；(2)求证：SN平面CDM.7如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC=90，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点(1)求证：MN平面BCC1B1；(2)求证：MN平面A1B1C； (3)求三棱锥MA1B1C的体积8一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点(1)求证：CM平面FDM；(2)在线段AD上(含A，D端点)确定
13、一点P，使得GP平面FMC，并给出证明参考答案1解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA面ABCD，PAEB，且PA4，BE2，ABADCDCB4，所以VPABCDPAS正方形ABCD444.(2)证明：连接BP.因为，EBABAP90，所以EBABAP，所以PBAAEB，所以PBABAEBEABAE90，所以PBAE.由题易证BC平面APEB，所以BCAE 又因为PBBCB，所以AE平面PBC，因为PG平面PBC，所以AEPG.2解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位
14、置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度AC5(cm)，故铁丝的最短长度为5 cm.3(1)证明：连接EO，OA.E，O分别为B1C，BC的中点，EOBB1.又DABB1，且DA=EO=BB1.四边形AOED是平行四边形，即DEOA.又DE平面ABC，AO平面ABC，DE平面ABC.来源: (2)解：由题意知DE平面CBB1，且由(1)知DEOA，AO平面CBB1，AOBC，AC=AB.因BC是底面圆O的直径，得CAAB.而AA1CA，AA1AB=A，CA平面AA1B1B，即CA为四棱锥的高设圆柱高为h，底面半径为r，则V柱=r2h，V锥=h(r)(r)=hr2，V锥V柱=.4(1)证明：G是矩
15、形ABEF的边EF的中点，AGBG2，从而得：AG2BG2AB2，AGBG.又平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，且BCAB，BC平面ABEF.AG平面ABEF，BCAG.BCBGB，AG平面BGC，AG平面AGC，平面AGC平面BGC.(2)解：由(1)得：BC平面ABEF，CB是三棱锥AGBC的高，而SABG224，VAGBCVCABG44.5(1)证明：在四面体ABCD中，AB平面ACDABCD.(2)解：在题图2中作DEA2A3于E.A1A2=8，DE=8.又A1D=A3D=10，EA3=6，A2A3=10+6=16.又A2C=A3C，A2C=8.即图1中AC=8，
16、AD=10，由A1A28，A1BA2B得题图1中AB4.SACDDEA3C8832.又AB面ACD，VBACD324.6证明：(1)在三棱锥PABC中，因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MDPA.因为MD平面CMD，PA平面CMD，所以PA平面CMD.(2)因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MDPA.因为PA平面ABC，所以MD平面ABC，又SN平面ABC，所以MDSN.在ABC中，连接DS，因为D，S分别为AB，BC的中点，所以DSAC且DSAC.又ABAC，所以ADSBAC90.因为ACAB，所以ACAD，所以ADC45，因此CDS45.又AB4AN，所以DNADAC，即DNDS，
17、故SNCD.又MDCDD，所以SN平面CMD 7(1)证明：连接BC1，AC1.由题知点N在AC1上且为AC1的中点M是AB的中点，MNBC1.又MN平面BCC1B1，MN平面BCC1B1.(2)证明：三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，四边形BCC1B1是正方形，BC1B1C，MNB1C.连接A1M，由ABC=MAA1=90，BM=AM，BC=AA1得AMA1BMC.A1M=CM.又N是A1C的中点，MNA1C.B1C与A1C相交于点C，MN平面A1B1C.(3)解：由(2)知MN是三棱锥MA1B1C的高在直角MNC中，.又，=MN=.8证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF
18、中ADDF，DF=AD=a.(1)FD平面ABCD，CM平面ABCD，FDCM.在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M为AB中点，DM=CM=a，CMDM.FD平面FDM，DM平面FDM，FDDM=D，CM平面FDM.(2)点P在A点处证明：取DC中点S，连接AS，GS，GA，G是DF的中点，GSFC.又ASCM，ASAG=A，平面GSA平面FMC.而GA平面GSA，GP平面FMC.参考答案一、选择题1D解析：图的三种视图均相同；图的正(主)视图与侧(左)视图相同；图的三种视图均不相同；图的正(主)视图与侧(左)视图相同2A解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图
19、形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2，故选A.3D解析：由题目所给的几何体的正(主)视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示：可知侧(左)视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.4B5D解析：由三视图可得该几何体是四棱锥，记为棱锥PABCD，且PD底面ABCD.从而此几何体的体积为224.6C解析：该螺栓是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，V总V正六棱柱V圆柱3262123273.7A解析：由正 (主)视图可知正三棱锥的底边长为6，高为3，从而可得侧棱长为.而侧(左)视图是一个三角形，三条边分别是底面正三角形的高、侧棱和侧面等腰三角形底边上的高，其长度依次为3，和2
20、，故侧(左)视图的周长为5.8D二、填空题 916解析：设两圆锥的高分别为h,2h，圆锥的底面圆半径为r，则r22h2.又球的半径R3，则h2.故两圆锥的体积之和为Vr2(2hh)r2h2h316.104811解析：将直三棱柱沿侧棱A1A剪开，得平面图形如图所示，AC1为定长，当A，M，C1共线时AMMC1最短，此时AM，MC12.又在原图形中AC1，易知AMC1120，2sin 120.12解析：O，E，F三点在平面ACC1A1内，且矩形ACC1A1的外接圆是球的一个大圆又EFA1C，设A到直线A1C的距离为d，则，得d，故圆心O到直线EF的距离为.又球的半径为，故直线EF被球O所截得的线段
21、长为2.三、解答题13解：(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S522222()2224(cm2)所求几何体的体积V23()2210(cm3)14解：(1)由题可知AA1BC，S侧SBCC1B12SABB1A1(1)ab.(2)设O为A1在平面ABC内的射影，则由题可知O在BAC的平分线上，可得AO(bcos 45)cos 30b，则斜三棱柱的高A1Ob，所以三棱柱的体积V.15(1)解：BC2AC2AB23BC.几何体ABCEFD是由直三棱柱截得，由图可
22、知DC平面ABC，DCAB.又ABC90，ABBC.AB平面BDC.又EFAB，EF平面BCD.故VDBCEVEBCDSBCDEF1.(2)证明：连接CF.依题意EFBD.又在RtBCF和RtCDB中，RtBCFRtCDBBDCBCFBDCDCFBCFDCF90CFBD.由BD平面CEF.又CE平面CEF，BDCE. 16(1)证明：连接CO.AEEB，AB2，AEB为等腰直角三角形O为AB的中点，EOAB，EO1.又四边形ABCD是菱形，ABC60，ACB是等边三角形，CO.又EC2，EC2EO2CO2，EOCO.又CO平面ABCD，EO平面ABCD，EO平面ABCD.(2)解：设点D到平面AEC的距离为h.AE，ACEC2，SAEC.SADC，E到平面ACB的距离EO1，VDAECVEADC，SAEChSADCEO，h， 点D到平面AEC的距离为.