1、陕西省西安市2021届高三数学上学期第四次月考试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合，则等于 A. B. C. D. 2. 已知平面内有三点，则向量在方向上的投影为 A. B. C. D. 3. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M到y轴的距离为2，则A. 8B. 6C. 5D. 44. 中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得
2、到了这两个行业从业者的年龄分布的饼状图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是A. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过B. 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多5. 如图,某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A. B. C. D. 6. 在的展开式中，常数项等于（ ） A. 15B.16C. D. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴
3、的交点为A，M是抛物线C上的点，轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则A. 2 B. C. 4 D. 8. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为A. 150B. 180C. 200D. 2809. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则A. B. C. D. 10. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为A. B
4、. C. D. 11. 已知直线与圆相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线的距离的最大值为 A. 5B. 4C. 3D. 212. 设椭圆E：的一个焦点为，点为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是 A. B.C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知变量x，y满足，则的取值范围是_14. 设是公差不为零的等差数列的前n项和，且则_15. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为_16. 已知，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且，的最大值为_三
5、、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题.（共60分）17. （12分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积 1求A；2作角B的平分线交边AC于点O，记和的面积分别为，求的取值范围18. （12分）已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：证明：平面平面ABC；若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值19. （12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水
6、电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立求未来3年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20
7、. （12分）已知椭圆C：过点，且离心率为求椭圆C的方程；若斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点，求k的取值范围21. （12分）已知函数，其中讨论的单调性；若有两个极值点x，x，证明：（二）选考题.（共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.）22. （10分）在平面直角坐标系中，曲线是圆心在(0，2)，半径为2的圆，曲线的参数方程为，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系 (1) 求曲线的极坐标方程；(2)若曲线与两坐标轴分别交于两点，点为线段AB上任意一点，直线OP与曲线交于点M（异于原点），求的最大值2
8、3. （10分）已知，且1求证：；2当时，不等式恒成立，求a的取值范围西安中学高2021届高三第四次月考数学（理）答案 一、选择题：123456789101112DCBCDDBADABC二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、 14、18 15、 16、三、 解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）17、 解：，整理得，因此，又，所以；2，由正弦定理得：，因为，所以.18、 解：证明：设AC的中点为O，连接，由题意，得，因为在中，为AC的中点，所以，因为在中，所以，因为
9、，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，因为平面PAC，所以平面平面ABC；由知，平面PAC，平面PAC，平面PAC，所以就是直线BM与平面PAC所成的角且，所以当OM最短时，即M是PA的中点时，最大由平面，所以，于是以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面MBC的法向量为，则，得，令，得，即，取平面ABC的法向量为，由图可知，二面角的余弦值为19、 解：依题意，得，由二项分布，记“在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120”为事件A，记水电站年总利润为单位：万元安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的
10、年利润，安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此由此得Y的概率分布列如下：Y420010000P所以安装3台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，三台发电机运行，此时，因此，由此得Y的概率分布列如下：Y3400920015000P所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台20、 解：设椭圆C的焦距为2c，因为椭圆过点，所以因为，所以因为，所以所以椭圆C的方程为设直线l的方程为，直线l与椭圆C交于两点，由，消去y并整理得，直线与椭圆有两个交点，即，因为，所以，设线
11、段MN的中点为，则有所以线段MN的垂线平分线方程为因为线段MN的垂线平分线过点，所以因为，所以，即解得或所以k的取值范围是21、 解：由题得，其中，令，其中对称轴为，若，则，此时，则，所以在上单调递增；若，则，此时在R上有两个根，且，所以当时，则，单调递增；当时，则，单调递减；当时，则，单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增证明：由知，当时，有两个极值点，且，所以令，则只需证明，由于，故在上单调递减，所以又当时，故，所以，对任意的，综上，可得22、解： (1) 解法一：设曲线与过极点且垂直于极轴的直线相交于异于极点的点E，且曲线上任意点F，边接OF，EF，则OFEF，在OEF中，解法二：曲线的直角坐标方程为，即， 所以曲线的极坐标方程为；（2）因曲线的参数方程为，与两坐标轴相交，所以点，所以线段极坐标方程为，,，当时取得最大值为22、 由柯西不等式得：，当且仅当时取等号，；（2），当且仅当时等号成立，要使得不等式恒成立，即可转化为，的取值范围为：