1、第一章数列2等差数列2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列前n项和的推导及初步应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知等差数列an满足a1=1,am=99,d=2,则其前m项和Sm等于()A.2 300B.2 400C.2 600D.2 500答案D解析由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)2,解得m=50,所以S50=501+504922=2500.2.在等差数列an中,若a2+a8=8,则该数列的前9项和S9等于()A.18B.27C.36D.45答案C解析S9=92(a1+a9)=92(a2+a8)=36.3.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个
2、数的和为()A.200B.100C.90D.70答案B解析S10=10(-20+40)2=100.4.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于()A.2B.3C.6D.7答案B解析(方法一)由S2=2a1+d=4,S4=4a1+6d=20,解得d=3.(方法二)由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d,所以20-4=4+4d,解得d=3.5.已知数列an中,a1=1,an=an-1+12(n2,nN+),则数列an的前9项和等于()A.27B.632C.45D.-9答案A解析由已知数列an是以1为首项,以12为公差的等差数列,S9=91+98
3、212=9+18=27.6.设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=.答案15解析设等差数列的公差为d,则S3=3a1+322d=3a1+3d=3,即a1+d=1,S6=6a1+652d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8.由a1+d=1,2a1+5d=8,解得a1=-1,d=2.故a9=a1+8d=-1+82=15.7.(2020天津期末)记Sn为等差数列an的前n项和,若Sn=n2(nN+),则a9=,an=.答案172n-1解析Sn=n2,a9=S9-S8=92-82=17,当n=1时,a1=1,a2=S2-S1=22-1=3,等差数列an的公差d=3-1=
4、2,an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.8.(2021广西桂林二模)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3+a4+a5+a6+a7=150,则S9=.答案270解析因为等差数列an中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=150,a5=30,则S9=9(a1+a9)2=9a5=270.9.在等差数列an中,(1)已知a6=10,S5=5,求a8;(2)已知a2+a4=485,求S5.解(1)(方法一)a6=10,S5=5,a1+5d=10,5a1+10d=5,解得a1=-5,d=3.a8=a6+2d=16.(方法二)S6=S5+a6=15,15=6(a1+a6)2,即3(a
5、1+10)=15.a1=-5,d=a6-a15=3.a8=a6+2d=16.(2)(方法一)a2+a4=a1+d+a1+3d=485,a1+2d=245.S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5245=24.(方法二)a2+a4=a1+a5,a1+a5=485,S5=5(a1+a5)2=52485=24.关键能力提升练10.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为()A.765B.665C.763D.663答案B解析设an是由被7除余2的自然数由小到大排成的数列.a1=2,d=7,2+(n-1)7100,n15,n=14,S14=142+1214137=665.11.在等差数列an中
6、,a32+a82+2a3a8=9,且an0,则S10等于()A.-9B.-11C.-13D.-15答案D解析由a32+a82+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,an0,a3+a8=-3,S10=10(a1+a10)2=10(a3+a8)2=10(-3)2=-15.12.在等差数列an和bn中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列an+bn的前100项的和为()A.10 000B.8 000C.9 000D.11 000答案A解析由已知得an+bn为等差数列,故其前100项的和为S100=100(a1+b1)+(a100+b100)2=50(25+75+100)=10
7、000.13.(多选题)已知等差数列an的前n项和为Sn,若S7=a4,则下列等式一定成立的是()A.a1+a3=0B.a3+a5=0C.S3=S4D.S4=S5答案BC解析由S7=7(a1+a7)2=7a4=a4,解得a4=0,所以a3+a5=2a4=0,S3=S4.14.(多选题)记等差数列an的前n项和为Sn,若a2=10,S5=S2,则()A.S3=S4B.a6=10C.Sn的最大值为30D.an的最大值为15答案ACD解析设数列an的公差是d,a2=10,S5=S2,a1+d=10,5a1+10d=2a1+d,解得d=-5,a1=15.则an=20-5n,Sn=35n-5n22,故a
8、4=0,S3=S4,A正确;a6=-10,B错误;当n=3或4时,Sn取得最大值30,C正确;由于d0.a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117,a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.又公差d0,a30,所以an-an-1=2(n2).所以数列an是以3为首项,2为公差的等差数列.(2)解由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1,nN+.学科素养创新练20.在数列an中,a1=1,Sn为an的前n项和.关于x的方程x2-an+1cos x+an+1=0有唯一的解.(1)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn;(2)若不等式2Sn+9(-1)nkan对任意的nN+恒成立,求
9、实数k的取值范围.解(1)设f(x)=x2-an+1cosx+an+1,f(-x)=(-x)2-an+1cos(-x)+an+1=f(x),则f(x)为偶函数,由关于x的方程x2-an+1cosx+an+1=0有唯一的解,知x=0是该方程的唯一解,则有an+1-an=1,所以数列an为等差数列,则an=1+n-1=n,Sn=n(n+1)2.(2)由Sn=n(n+1)2,2Sn+9(-1)nkan,可得n2+n+9(-1)nkn,则有n+9n+1(-1)nk(nN+),令cn=n+9n+1,则cn-cn-1=1+9n-9n-1=n2-n-9n(n-1),易得,当n3时,cncn-1,所以有c1c2=7.5c3=7c4=7.25c5,当n为偶数时,n+9n+1k,从而得k7.25;当n为奇数时,n+9n+1-k,从而得k-7.综上可得k的取值范围为-7,7.25.