1、45.2用二分法求方程的近似解目标 1.知道二分法的定义，会用二分法求方程的近似解；2.明确精确度与近似值的区别重点 二分法求方程的近似解难点 二分法定义的理解知识点一二分法的概念填一填对于在区间a，b上连续不断，且 f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法答一答1用二分法求函数零点的适用条件是什么？提示：f(x)的图象在区间a，b上连续不断；f(a)f(b)0.2是否所有的函数都能用二分法判断零点所在区间？提示：不是所有的函数都能用二分法来判断零点所在区间只有图象在给定区间上是连续不
2、断的，且在区间的端点处的函数值是异号的函数，才可以用二分法求函数零点所在区间3若函数yf(x)在区间a，b上存在f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点吗？提示：对于函数f(x)，若满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，反之，f(x)在区间(a，b)内有零点也不一定有f(a)f(b)0，如图所示知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤填一填(1)确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0(此时零点x0(a，x1
3、)，则令bx1；若f(x1)f(b)0(此时零点x0(x1，b)，则令ax1.(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)答一答4“精确到”与“精确度”是一回事吗？提示：不是一回事，具体说明如下：(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x为x的一个近似值，若|xx|，则x是精确度为的x的一个近似值，精确度简称精度用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|ab|，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x，x的最后一位有效数字在某一数位，
4、就说精确到某一数位如：3.141 592 6，若取3位有效数字，则x3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x3.141 6，精确到0.000 1(即万分位)5你知道为什么当|ab|时，可将a或b的值看成方程的近似解吗？提示：当|ab|时，由于方程根的真实值x0a，b，所以|ax0|ab|，所以a与方程根的真实值x0的误差不超过精确度，故可用a来作为方程的近似解用b的原因同样类型一二分法的概念例1下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()解析对于选项A，图象与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B，图象与x轴有交点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，
5、函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，故选C.答案C1.本题给出了各个函数的图象，可根据图象与x轴有交点，且交点左右的函数值异号才能用二分法求零点2判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用变式训练1如下图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是(A)解析：按二分法定义， f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象
6、可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选A.类型二二分法的步骤例2用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)，f(0.25)B(0,1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.75) D(0,0.5)，f(0.125)解析二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)0，知x0(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的准确位置答案A用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：,区
7、间a，b的长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)0.,(2)二分法仅对函数变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号)适用.(3)利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.变式训练2某方程在区间0,1内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)等分(C)A2次 B3次C4次 D5次解析：将区间(0,1)等分1次，区间长度为0.5; 等分2次，区间长度为0.25；等分4次，区间长度为0.062 50.1，符合题意，故选C.类型三用二分法求函数零点的近似解例3判断函数yx3x1在区间(1,
8、1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)分析由题目可获取以下主要信息：判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；精确度0.1表示在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解解因为f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.062 50.1，所以函数的一个近似
9、零点可取1.312 5.此类问题按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度时终止运算.变式训练3用二分法求2xx4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)2xx4，则f(1)2140.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0
10、350(1.375,1.5)|1.3751.5|0.1250，f(2)20，可得方程的根落在区间内3用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|ab|(为精确度)时，函数零点的近似值x0与真实零点的误差最大不超过(B)A. B.C D2解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而ba，因此误差最大不超过.4某同学在借助题设给出的数据求方程lgx2x的近似数时，设f(x)lgxx2，得出f(1)0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为1.75.解析：先判断零点所在的区间为(1,2)，
11、故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2)，故取的第二个值为1.75.5求方程lgxx1的近似解(精确度：0.1)解：如图所示，由函数ylgx和yx1的图象可知，方程lgxx1有唯一实数解，且在区间(0,1)内设f(x)lgxx1，f(1)0，用计算器计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值区间长度(0,1)0.50.008 11(0.5,1)0.750.280 50.5(0.5,0.75)0.6250.147 50.25(0.5,0.625)0.562 50.073 00.125(0.5,0.562 5)0.531 250.033 30.062 5由于区间(0.5,0.562 5)的长度为0.062 50.1，所以原方程的近似解可取为0.5.本课须掌握的两大问题1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a) f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值