1、西安中学20202021学年度第一学期期末考试高二文科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1. 命题“对任意的”的否定是（ ）A. 不存在B. 存在C. 存在D. 对任意的C分析：根据全称命题的否定是特称命题可得答案.解答：命题“对任意的”的否定是“存在”.故选：C.2. “为真”是“为假”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B分析：根据两者之间推出关系可得正确的选项.解答：若为假，则为真，所以为真，故“为假”能推出“为真”若为真，为假，此时为真，但为真故“为真”推不出“为假”，所以“为真”是“为假”的的必要不充分条件故选：B
2、.点拨：本题考查复合命题真假的判断，一般地，的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假必假”，的真假判断是“真假相反”3. 若，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2D分析：整理可得：，问题得解解答：因为，所以，所以，所以，故选：D.点拨：本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题.4. 与双曲线的焦点相同，且长轴长为的椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. B分析：求出双曲线的焦点坐标，结合长轴长即可得到椭圆的标准方程.解答：双曲线的焦点为，设椭圆标准方程为，所以椭圆的标准方程为.故选：B点拨：求得双曲线的焦点坐标是解题关键5. 已知函数，则下列说法不
3、正确的是（ ）A. 最大值为B. 最小值为C. 函数在区间上单调递增D. 是它的极大值点C分析：利用导数分析函数在区间上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断各选项的正误.解答：，则.令，可得或；令，可得.当时，函数在区间,上均为增函数，在区间上为减函数，C选项错误；所以是函数的极大值点，D选项正确；因为，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为，A、B选项正确.故选：C.点拨：本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6. 已知双曲线，的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线是（ ）A. B. C. D. B分
4、析：先求出抛物线的焦点坐标，得出双曲线方程，再由双曲线的方程求解渐近线方程即可解答：因为的焦点（2，0），所以a2+34,a21，双曲线方程为： 渐近线方程为：故选：B7. 函数在下面哪个区间内是减函数（ ）A. B. C. D. D分析】求导，由求解.解答：因为函数，当时，所以函数在上是减函数，故选：D8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. D分析：求导，判断在上递增求解.解答：因为函数，所以，所以在上递增，又因为，所以，故选：D9. 已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.
5、A分析】由题意求出的值与的取值范围，计算离心率的取值范围即可解答：解：设椭圆的左焦点为，半焦距为，连结，则四边形为平行四边形，所以，根据椭圆定义，有，所以，解得因为点到直线：的距离不小于，即，所以，所以，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为故选：A点拨：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B. C. D. C试题分析：当时，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，令，得或时，；时，；时，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，且，要使得
6、存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性11. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.解答：抛物线，则焦点，准线方程为，根据抛物线定义可得，圆，圆心为，半径为，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由
7、圆心和半径可知，则的周长为，所以，故选：B.点拨：本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.12. 设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式(为自然对数的底数)解集为（ ）A. B. C. D. C分析：令，根据，利用导数法得到在R上递增，再将变形为，即，利用单调性的定义求解.解答：令，因为，所以，所以在R上递增，又，所以，不等式，转化为，即，所以，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分)13. 设zi(i为虚数单位)，则|z|_.分析：根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.解答：,.故答案为：点拨：本题考查了复数除法的运算法则和
8、复数模的计算，考查了数学运算能力.14. 命题“，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为_.分析：根据命题“，满足不等式”是假命题，转化为，不等式，恒成立，利用判别式法求解.解答：因为命题“，满足不等式”是假命题，所以，不等式，恒成立，则，解得， 所以m的取值范围为，故答案为：15. 如图所示，抛物线形拱桥的跨度是米，拱高是米，在建桥时，每隔米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为_米.（或）分析：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，设所求抛物线的方程为，由题意可得出点在该抛物线上，可求得的值，然后将代入抛物线的方程，进而可求得结果.解答：以抛物线的顶点
9、为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知点在该抛物线上，所以，解得，所以，抛物线的方程为，当时，因此，最长的支柱的长度为（米）.故答案为：（或）.点拨：利用解析法解决平面几何问题的步骤如下：（1）建立合适的坐标系；（2）将几何元素用代数形式加以表示；（3）将几何关系转化为数学运算；（4）将数学结果转化为实际结论.16. 已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是_(1,0)根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解因为f(x)在xa处取到极大值，所以xa为f(x)的一个零点，且在xa的左
10、边有f(x)0，右边有f(x)0，所以导函数f(x)的开口向下，且a1，即a的取值范围是(1,0)三、解答题(共6小题，共70分）17. （1）已知椭圆的离心率为，点在C上.求椭圆C的方程；（2）求与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程.（1）；（2）.分析：（1）由离心率、点坐标代入椭圆方程和间的关系列出方程组可得答案；（2）求出椭圆的焦点坐标，设出抛物线方程，根据焦点坐标可得答案.解答：（1）由已知得，解得，所以椭圆的方程为. （2）由得，所以，椭圆的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为，当抛物线的开口向右时设抛物线的方程为，所以，得；当抛物线的开口向左时设抛物线的方程为，所以，得，综
11、上所述，抛物线的方程为.点拨：本题考查了椭圆的方程的求法、抛物线方程的求法，关键点是熟练掌握椭圆的标准方程、抛物线的标准方程和它们的简单的几何意义，考查了学生的运算能力.18. 设关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B.（1）求集合A，B；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.（1），；（2）.分析：（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A，B即可. （2）根据是的必要条件，由BA求解.解答：（1）不等式，化为，因式分解为，解得，解集；不等式，化为，当时，解集；当时，解集，综上，不等式的解集. （2）因为是的必要条件，所以BA，实数a的取值范围是.19. 已知，命题：方程表示焦点在轴上的椭
12、圆；命题：“方程表示圆心在第一象限的圆”.（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为假命题，求实数的取值范围.（1）（2）分析：（1）根据方程表示焦点在轴上的椭圆，列出不等式组即可得到m的范围；（2）先求出命题p和q为真命题时m的范围，然后分别取补集再取交集即可得到答案.解答：（1）若命题是真命题，则，解得；（2）化为“方程表示圆心在第一象限的圆.”为真命题，解得，即.为假命题则或为假命题则或由和均为假命题，或由和均为假命题，或实数的取值范围为点拨：本题考查命题真假判断的应用，考查椭圆的标准方程和圆的一般方程的应用，考查推理和计算能力.20. 函数.（1）求曲线在点处的切线方程
13、；（2）求在区间上的最大值.（1）；（2）.分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义，求出曲线在点处的切线斜率，进而可得切线方程；（2）对函数求导，判断其在给定区间的单调性，计算端点值比较大小，即可得出结果.解答：（1）因为的定义域为，所以，因此，即曲线在点处的切线斜率为.又，所以曲线在点处的切线方程为，即；(2)因为，所以当时，即单调递减；当时，即单调递增；所以；又，而，所以在区间上的最大值为.点拨：思路点睛：利用导数的方法求函数的最值时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出给定区间内的极值以及端点值，比较大小，即可求解.21. 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点为
14、椭圆上一点，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由.（1）；（2）存在，.分析：（1）根据三角形面积公式，结合椭圆中的关系进行求解即可；（2）根据题意设出直线的方程与椭圆的方程联立，结合以线段为直径的圆的性质、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.解答：解：（1） 得 在椭圆上， 是椭圆的焦点 由解得： 方程：（2）的斜率，设的方程为， 联立方程组整理得 ，解得设两点的坐标为，则以为直径的圆经过原点，所以有，即 解得经检验满足，所求的方程为22. 已知f(x)axln x，x(
15、0，e，g(x)，x(0，e，其中e是自然常数，.（1）讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)g(x)；（3）是否存在正实数a，使的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.（1）当时，单调递减；当时，单调递增；最小值1；（2）证明见解析；（3）存在，.分析：(1)根据f(x)xln x，求导得，分别令f(x)0求解单调性和极值.(2)要证 f(x)g(x)，即证f(x)ming(x)max，由(1)知f(x)在(0，e上的最小值为1，再利用导数法求得g(x)max即可.(3)假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，
16、求导，分0e，e讨论求解.解答：(1)因为f(x)xln x， 所以，所以当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10时，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)f(x)的极小值为1，f(x)在(0，e上的最小值为1，即f(x)min1.又g(x)，当0x0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e)，f(x)ming(x)max，在(1)的条件下，f(x)g(x).(3)假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，则.当0e时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，e上单调递增，f(x)minf()1ln a3，ae2，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)无最小值综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时f(x)有最小值3.点拨：方法点睛：不等式问题.（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题
