1、2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A14B24C28D483五张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（）ABCD4若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f（1）=2，则f（1）=（）A1B
2、2C2D05某一随机变量的概率分布如下表，且m+2n=1.2，则m的值为（）0123P0.1mn0.1A0.2B0.2C0.1D0.16设an=1+（nN*），则an+1an等于（）AB +C +D +7已知变量x服从正态分布N（4，2），且P（x2）=0.6，则P（x6）=（）A0.4B0.3C0.2D0.18函数f（x）=exx （e为自然对数的底数）在区间1，1上的最大值是（）A1+B1Ce+1De19在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A12B18C24D3210函数y=x2ex的图象大
3、致为（）ABCD11观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28B76C123D19912己知函数f（x）=lnx+，则下列结论中正确的是（）A若x1，x2（x1x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是增函数B若x1，x2（x1x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是减函数Cx0，且x1，f（x）2Dx00，f（x）在（x0，+）上是增函数二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13定积分的值为14设（x1）21=a0+a1x+a2x2+a21x21，则a10+a11
4、=15若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为16体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p（p0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）1.75，则p的取值范围三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17设函数f（x，n）=（1+x）n，（nN*）（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）若f（i，n）=32i（i为虚数单位），求CC+CC+C18已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线
5、y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间19某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为假设各次考试成绩合格与否均互不影响（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列及数学期望E20（理） 已知函数f（x）=xln（x+a）在x=1处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程
6、f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围21甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组70，80）80，90）90，100）100，110）频数34815分组110，120）120，130）130，140）140，150频数15x32乙校：分组70，80）80，90）90，100）100，110）频数1289分组110，120）120，130）130，140）140，150频数1010y3（1）
7、计算x，y的值；（2）若规定考试成绩在120，150内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异甲校乙校总计优秀非优秀总计参考数据与公式：临界值表：P（K2k0）0.100.050.010k02.7063.8416.63522已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2sin2cos（1）求曲线C的参数方程；（2）当=时，求直线l与曲线C交点的极坐标2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期末数
8、学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求【解答】解：由（z2i）（2i）=5，得：，z=2+3i故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A14B24C28D48【分析】法一：用直接法，4人中至少有1名女生包括
9、1女3男及2女2男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；法二：用排除法，首先计算从4男2女中选4人的选派方案种数，再计算4名都是男生的选派方案种数，由排除法，计算可得答案【解答】解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12C34+C22C24=24+16=14；法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46C44=151=14故选A【点评】本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现3五张卡片上分别写
10、有数字1、2、3、4、5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（）ABCD【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C52种结果，满足条件的事件是两张之和为奇数有32，得到概率【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C52=10种结果，满足条件的事件是两张之和为奇数，有32=6种结果，要求的概率是故选A【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果4若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f（1
11、）=2，则f（1）=（）A1B2C2D0【分析】根据导数的运算法则先求导，再判断其导函数为奇函数，问题得以解决【解答】解：f（x）=ax4+bx2+c，f（x）=4ax3+2bx，f（x）=4ax32bx=f（x），f（1）=f（1）=2，故选：B【点评】本题考查了导数的运算法则和函数的奇偶性，属于基础题5某一随机变量的概率分布如下表，且m+2n=1.2，则m的值为（）0123P0.1mn0.1A0.2B0.2C0.1D0.1【分析】由离散型随机变量分布列的性质可得m和n的一个关系式，与m+2n=1.2联立求出m和n【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质，可得m+n+0.2=1，又m+2n=
12、1.2，所以m=0.4，n=0.4，所以m=0.2故选B【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，属基本题6设an=1+（nN*），则an+1an等于（）AB +C +D +【分析】直接利用数列的通项公式，推出结果即可【解答】解：an=1+（nN*），则an+1an=1+（1+）=故选：D【点评】本题考查数列的通项公式的应用，考查计算能力7已知变量x服从正态分布N（4，2），且P（x2）=0.6，则P（x6）=（）A0.4B0.3C0.2D0.1【分析】变量x服从正态分布N（4，2），得出正态分布曲线关于x=2对称，由此得出P（x2）=P（x6），求出P（2）的值，得出正解答案【解答】解：
13、随机变量x服从正态分布N（4，2），正态分布曲线关于x=4对称，又x2与x6关于x=2对称，且P（2）=0.6，P（x2）=P（x6）=0.4，故选：A【点评】本题考查正态分布曲线的特点，解题的关键是理解正态分布曲线的对称性的特征，由特征得出P（x2）=P（x6）8函数f（x）=exx （e为自然对数的底数）在区间1，1上的最大值是（）A1+B1Ce+1De1【分析】求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可得到函数的最大值【解答】解：求导函数，可得f（x）=ex1令f（x）0，x1，1，可得0x1；令f（x）0，x1，1，可得1x0，f（1）=，f（1）=e1f（1）f（1）函数f（
14、x）=exx （e为自然对数的底数）在区间1，1上的最大值是e1故选D【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是求导确定函数的单调性9在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A12B18C24D32【分析】设出男同学的人数，可得女同学的人数，根据女同学的概率为，解得x的值，即可求得参加聚会的同学的人数【解答】解：设男同学有x人，则女同学有x+6人，由题意可得=，解得 x=6，则这个班所有的参加聚会的同学的人数为 2x+6=18人，故选B【点评】本题主要考查等可能事件的概率，
15、属于基础题10函数y=x2ex的图象大致为（）ABCD【分析】由y=2xex+x2ex0，解得x的取值范围，可得函数y=x2ex的单调递减区间，结合函数值均大于0，即可得出结论【解答】解：由y=2xex+x2ex0，解得2x0函数y=x2ex的单调递减区间是（2，0）又由于函数值均大于0，故排除D，选A故选A【点评】本题考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想，熟练掌握运用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键11观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28B76C123D199【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，
16、4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10=123，故选C【点评】本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理12己知函数f（x）=lnx+，则下列结论中正确的是（）A若x1，x2（x1x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是增函数B若x1，x2（x1x2）是f（x）
17、的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是减函数Cx0，且x1，f（x）2Dx00，f（x）在（x0，+）上是增函数【分析】求导数，可得（，e）上函数单调递减，（0，），（e，+）上函数单调递增，即可判断【解答】解：f（x）=lnx+（x0且x1），f（x）=0，x=e，或x=当x（0，）时，f（x）0，；当x（，1），x（1，e）时，f（x）0；当x（e，+）时，f（x）0故x=和x=e分别是函数f（x）的极大值点和极小值点，而函数f（x）在（，e）上单调递减，故A、B错误；当0x1时，lnx0，f（x）0，不满足不等式，故C错误；只要x0e，f（x）在（x0，+）上时增函数，故D正确故选
18、：D【点评】本题考查命题的真假判断，考查导数知识的运用，正确求导是关键二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13定积分的值为1【分析】根据分段函数的积分公式进行计算即可【解答】解： =（x）|+（x）|=，故答案为：1【点评】本题主要考查积分的计算，根据分段函数的积分公式是解决本题的关键，比较基础14设（x1）21=a0+a1x+a2x2+a21x21，则a10+a11=0【分析】根据题意，可得（x1）21的通项公式，结合题意，可得a10=C2111，a11=C2110，进而相加，由二项式系数的性质，可得答案【解答】解：根据题意，（x1）21的通项公式为Tr+1=C21r（x）2
19、1r（1）r，则有T11=C2110（x）11（1）10，T12=C2111（x）10（1）11，则a10=C2110，a11=C2111，故a10+a11=C2110C2111=0；故答案为：0【点评】本题考查二项式系数的性质与二项式定理的运用，解题时注意二项式通项公式的形式与二项式系数的性质，综合考查可得答案15若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为4【分析】先求在x=2处的导数，从而求出在x=2处的切线的斜率，根据切线恰好过坐标原点建立等量关系，解之即可【解答】解：y=2x1，y|x=2=5，又P（2，6+c），=5c=4；故答案为4【点
20、评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的运算等有关知识，属于基础题16体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p（p0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）1.75，则p的取值范围（0，）【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX1.75，可得p23p+31.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案【解答】解：由已知条件可得P（X=1）=p，P（X=2）=（1p）p，P（X=3）=（1p）2p+（1p）3=（1p）2，则E（X）=P（X=1）
21、+2P（X=2）+3P（X=3）=p+2（1p）p+3（1p）2=p23p+31.75，解得p或p，又由p（0，1），得p（0，）故答案为：（0，）【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17设函数f（x，n）=（1+x）n，（nN*）（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）若f（i，n）=32i（i为虚数单位），求CC+CC+C【分析】（1）展开式中系数最大的项是第4项；（2）（1+i）n
22、=32i，两边取模，求出n，利用（1+x）10=（+（）i=32i，可得结论【解答】解：（1）展开式中系数最大的项是第4项=20x3；5（2）由已知，（1+i）n=32i，两边取模，得=32，所以n=10所以CC+CC+C=，而（1+x）10=（+（）i=32i所以=32【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查复数的运算，属于中档题18已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间【分析】（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，说明f（1）=
23、0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间【解答】解：（1）因为函数，所以=，因为曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，所以f（1）=0，即，解得k=1；（2）函数f（x）的定义域为（0，+），由，令g（x）=，此函数只有一个零点1，且当x1时，g（x）0，当0x1时，g（x）0，所以当x1时，f（x）0，所以原函数在（1，+）上为减函数；当0x1时，f（x）0，所以原函数在（0，1）上为增函数故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会
24、利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值掌握不等式恒成立时所取的条件19某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为假设各次考试成绩合格与否均互不影响（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列及数学期望E【分析】（1）设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合
25、格”为事件A2，“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2，不需要补考就获得证书的事件为A1B1，A1与B1相互独立，由此能求出考生不需要补考就获得证书的概率（2）由已知得，=2，3，4，各事件之间的独立性与互斥性，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解：（1）设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2，“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2不需要补考就获得证书的事件为A1B1，A1与B1相互独立，该考生不需要补考就获得证书的概率为（2）由已知得，=2，3，4，各事件之间的独立性与互斥性，=，=，故的分
26、布列为234P故答：该考生参加考试次数的数学期望为【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求法，解题时要注意互相独立事件的概率乘法公式的合理运用20（理） 已知函数f（x）=xln（x+a）在x=1处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围【分析】（1）先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f（1）=0，解之即可；（2）由（1）知f（x）=xlnx，故x23x+lnx+b=0，设g（x）=x23x+lnx+b（x0），研究当x变化时，g（x），g（x）的变化情况，确定函数的最值，
27、从而可建立不等式，即可求得结论【解答】解：（1）f（x）=1，函数f（x）=xln（x+a）在x=1处取得极值f（1）=0，a=0（2）由（1）知f（x）=xlnx，f（x）+2x=x2+bxlnx+2x=x2+b，x23x+lnx+b=0设g（x）=x23x+lnx+b（x0），则g（x）=当x变化时，g（x），g（x）的变化情况如下表x （0，） （，1） 1 （1，2） 2 g（x）+ 0 0+g（x） 极大值 极小值 b2+ln2当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b2，g（）=bln2，g（2）=b2+ln2方程f（x）+2x=x2+b在，2上恰有两个不相等的实数根， +ln2b2
28、【点评】本题主要考查函数的极值以及根的存在性及根的个数判断，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度21甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组70，80）80，90）90，100）100，110）频数34815分组110，120）120，130）130，140）140，150频数15x32乙校：分组70，80）80，90）90，100）100，110）频数1289分组110，120）120，130）
29、130，140）140，150频数1010y3（1）计算x，y的值；（2）若规定考试成绩在120，150内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异甲校乙校总计优秀非优秀总计参考数据与公式：临界值表：P（K2k0）0.100.050.010k02.7063.8416.635【分析】（1）由频数与总数关系可得x，y的值，先求出从甲、乙校各抽取的人数，再减去已知人数即得；（2）即求频率，按对应人数除以总数即可；（3）按公式代入计算得k2.8292.706，对照临界值表可知在犯错误的
30、概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异【解答】解：（1）从甲校抽取110=60（人），从乙校抽取110=50（人），故x=10，y=7（2）估计甲校数学成绩的优秀率为100%=25%，乙校数学成绩的优秀率为100%=40%（3）表格填写如图，甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计6050110K2的观测值k=2.8292.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异【点评】本题主要考查独立性检验的应用，考查概率的计算，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题22已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为
31、极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2sin2cos（1）求曲线C的参数方程；（2）当=时，求直线l与曲线C交点的极坐标【分析】（1）由=2sin2cos，可得2=2sin2cos把，2=x2+y2代入可得：曲线C的直角坐标方程利用cos2+sin2=1即可标准曲线C的直角坐标方程化为参数方程（2）当=时，直线l的方程为，化成普通方程为y=x+2与圆的方程联立解出，进而化为极坐标【解答】解：（1）由=2sin2cos，可得2=2sin2cos把，2=x2+y2代入可得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y2x，标准方程为（x+1）2+（y1）2=2曲线C的直角坐标方程化为参数方程为（为参数）（2）当=时，直线l的方程为化成普通方程为y=x+2联立，解得，或利用，2=x2+y2可得：直线l与曲线C交点的极坐标分别为（2，），（2，）【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程的应用、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
