1、第三章单元综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 2014山东师大附中月考函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)解析：f(x)ex(x3)ex(x2)ex.由f(x)0，得x2，即f(x)的单调递增区间为(2，)，故选D.答案：D2 当x0时，以下不等式成立的是()Aex0时ex1x，当x1xCex1xD当x0时ex0时ex1x解析：构造f(x)exx1，则f(x)ex1.当x0时，f(x)f(0)0，即xx1；当x0时，f(x)0，函数f(x)单调递增，f(x)f(0)0，即x0时，exx
2、1，故选C.答案：C3 函数f(x)lnxx2的图像大致是()解析：函数f(x)的定义域为x|x0，f(x)的导数为f(x)x.由f(x)0，得0x1，即函数f(x)的递增区间为(0,1)；由f(x)1，即函数f(x)的递减区间为(1，)，所以当x1时，函数f(x)取得极大值，且f(1)1，00的解集是()A(，0)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)解析：yf(x)的图像如图所示，当x0时，f(x)为增函数，所以f(x)0，若f(x)f(x)0，则只需f(x)0，由图得x(1，)；当x0时，f(x)为减函数，所以f(x)0，则只需f(x)0)的极值点为，函数
3、g(x)xlnx2(x0)的极值点为，则有()AB0)，f(x)x(2lnx1), 令f(x)0，得；g(x)xlnx2(x0)，g(x)2(lnx1)，令g(x)0，得，因此，故选A.答案：A7 2014河南省南阳市检测函数f(x)x3x2xa的极值点的个数为()A0B1C2D与a的取值有关解析：f(x)x22x1，显然f(x)(x1)20恒成立，f(x)在R上单调递增，函数f(x)无极值点，故选A.答案：A8 已知在正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1BC2D3解析：设底面边长为a，则高h ，所以体积Va2h . 设y12a4a6(a0)，则y48a33
4、a5，当y取极值时，y0，解得a0(舍去)，a4(舍去)或a4，故a4时体积最大，此时h2.故选C.答案：C9. 如图，某农场要修建3个一样的鱼塘，每个面积为10000 m2，鱼塘前面要留4 m的运料通道，其余各边为2 m宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为()A102 m、 mB150 m、66 mC100 m、100 mD150 m、 m解析：设鱼塘的宽为x m、长为y m，依题意得xy10000.设占地面积为S m2，则S(3x8)(y6)18x30048，令S180，取正根得x，此时y150.故选D.答案：D10. 2014辽宁高考当x2,1时，不等式ax3x24x30恒
5、成立，则实数a的取值范围是()A5，3B6，C6，2D4，3解析：当x0时，30恒成立，aR.当00，h(x)递增，h(x)maxh(1)6，a6.当2x0时，a.易知h(x)在2，1)上递减，在(1,0)上递增h(x)minh(1)2，a2.综上，6a2，故选C.答案：C11. 若函数f(x)ax3x在区间(，)内是减函数，则()Aa0Ba1Ca2Da解析：f(x)3ax21，由f(x)3ax210在(，)内恒成立，得a0.故选A.答案：A12. 设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yxf(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()Af(1)与f(1)Bf
6、(1)与f(1)Cf(2)与f(2)Df(2)与f(2)解析：易知f(2)0，f(2)0.当x(，2)时，由图可知xf(x)0，即当x(，2)时f(x)为增函数；当x(2,0)时，由图可知xf(x)0，f(x)0，当x(0,2)时，由图可知xf(x)0，f(x)0，f(x)0，即当x(2，)时f(x)为增函数故f(x)的极大值与极小值分别是f(2)与f(2)故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 2014广东省北江中学期中考试函数f(x)excosx，则f与f的大小关系为_解析：f(x)ex(cosxsinx)，0，是函数f(x)的一个单调递增区间，又0，f(
7、)f()答案：f()f()14. 2014甘肃省兰州一中月考当a_时，函数f(x)ex(x2axa1)没有极值点解析：由已知可得f(x)ex(x2axa1)ex(2xa)exx2(a2)x2a1，若函数不存在极值点，则对方程f(x)0，即x2(a2)x2a10有(a2)24(2a1)a24a0，解得0a4.答案：0,415. 直线ya与函数f(x)x33x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是_解析：令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，大致画出f(x)的图像，如图所示，观察得当2a0；当x时，f(x)，f(2)73a.答案：(，)三、解答题(本大题共6
8、小题，共70分)17(10分)已知f(x)，其中aR.当a2时，求函数f(x)在区间e，e2上的单调性解： 当a2，xe，e2时，f(x)x22lnx2，f(x)2x，当xe，e2时，f(x)0，函数f(x)在e，e2上单调递增18(12分)已知函数f(x)mx3nx2在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，求实数t的取值范围解： 由题意可知，所以，解得， 所以f(x)x33x2.由f(x)3x26x0，解得2x0，故f(x)在2,0上单调递减，故有t，t12,0，即2t0对x1恒成立，求k的最大值解： (1)g(x)a1lnx(x0)在(0，)上单调
9、递增，依题只需，解得1a0对x1恒成立，即k1恒成立，记h(x)(x1)，则h(x).记u(x)xlnx2，则u(x)1，当x1时，u(x)0，u(x)在(1，)上为增函数，u(3)1ln30，存在x0(3,4)使得u(x0)0，即x0lnx020，lnx0x02.当1xx0时，u(x)0，h(x)x0时，u(x)0，h(x)0；当xx0时，u(x)0，h(x)0，此时h(x)有最小值，且h(x)minh(x0)x0，只需kh(x)minx0(3,4)，kZ，k的最大值为3.20(12分)在半径为R的圆上取一个圆心角为(弧度)的扇形卷成圆锥，问多大时，圆锥的体积最大？解： 如图，设圆锥的底面半
10、径为r，高为h，则从而圆锥的体积为Vr2，则V.令V0，解得rRR(舍负)，V在(0，R)上有唯一的极值点，所以当rR时，V取得最大值此时，.21(12分)2014重庆高考已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)lnx，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增
11、函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln5.22(12分)2014湖北高考为圆周率，e2.71828为自然对数的底数(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求e3,3e，e，e,3，3这6个数中的最大数与最小数解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)因为f(x)，所以f(x).当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)因为e3，所以eln3eln，lneln3，即ln3elne，lneln3.于是根据函数ylnx，yex，yx在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中由e3及(1)的结论，得f()f(3)f(e)，即.由，得ln33；由，得ln3elne3，所以3ee3.综上，6个数中的最大数是3，最小数是3e.