1、限时规范训练 单独成册1如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱 AA1平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，ABC120，ABAA12，ACBDO，E，F 分别是线段 A1D，BC1的中点，延长 D1A1 到点 G，使得 D1A1A1G.(1)证明：GB平面 DEF；(2)求直线 GD 与平面 DEF 所成角的正弦值解析：(1)证明：连接 A1C，B1C，易知 BC1B1CF.因为 CB 綊 D1A1，且 D1A1A1G，所以 CB 綊 A1G.所以四边形 BCA1G 是平行四边形，所以 GBA1C.又 GB平面 A1B1CD，A1C平面 A1B1CD，所以 GB平面 A1B1
2、CD，即 GB平面 DEF.(2)以 O 为坐标原点，分别以OB，OC 的方向为 x 轴，y 轴的正方向，以过点 O 且平行于DD1 的方向为 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz.在菱形 ABCD 中，ABADBC2，ABC120，所以 BD2，AC2 3，O 为 AC 和 BD 的中点又 AA1平面 ABCD，AA12，则 B(1,0,0)，D(1,0,0)，A1(0，3，2)，C1(0，3，2)，D1(1,0,2)因为 E，F 分别是线段 A1D，BC1 的中点，所以E 12，32，1，F 12，32，1，由D1A1 A1G，得 G(1，2 3，2)，所以ED 12，32，1，
3、EF(1，3，0)设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)则nED 0，nEF0，即12x 32 yz0，x 3y0，令 y1，得 x 3，z 3，所以 n(3，1，3)且GD(2,2 3，2)，设直线 GD 与平面 DEF 所成的角为，则 sin|cosn，GD|nGD|n|GD|2 372 5 10535.2(2017高考全国卷)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，求二面角 APBC 的余弦值解析：(1)证明：由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.因为 ABCD，所以 A
4、BPD.又 APDPP，所以 AB平面 PAD.因为 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)在平面 PAD 内作 PFAD，垂足为点 F.由(1)可知，AB平面 PAD，故 ABPF，可得 PF平面 ABCD.以 F 为坐标原点，FA的方向为 x 轴正方向，|AB|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz.由(1)及已知可得 A22，0，0，P0，0，22，B22，1，0，C 22，1，0，所以PC 22，1，22，CB(2，0,0)，PA22，0，22，AB(0,1,0)设 n(x1，y1，z1)是平面 PCB 的一个法向量，则nPC0，nCB0，即 22 x1y1
5、22 z10，2x10.所以可取 n(0，1，2)设 m(x2，y2，z2)是平面 PAB 的一个法向量，则mPA0，mAB0，即 22 x2 22 z20，y20.所以可取 m(1,0,1)，则 cosn，m nm|n|m|23 2 33，所以二面角 APBC 的余弦值为 33.3四棱锥 P-ABCD 中，点 P 在平面 ABCD 内的射影 H 在棱 AD 上，PAPD，底面 ABCD 是梯形，BCAD，ABAD，且 ABBC1，AD 2.(1)求证：平面 PAB平面 PAD；(2)若直线 AC 与 PD 所成角为 60，求二面角 A-PC-D 的余弦值解析：(1)证明：PH平面 ABCD，
6、AB平面 ABCD，PHAB.ABAD，ADPHH，AD，PH平面 PAD，AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.(2)以 A 为原点，建立如图空间直角坐标系 A-xyz，PH平面 ABCD，z 轴PH，则 A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设 AHa，PHh(0a2，h0)，P(0，a，h)，AP(0，a，h)，DP(0，a2，h)，AC(1,1,0)PAPD，APDP a(a2)h20，|cosAC，DP|a2|2a22h212，(a2)2h2，(a2)(a1)0，0a2，a1，h0，h1，P(0,1,1)，AP(0,1,1)，AC(1,1,
7、0)，PC(1,0，1)，DC(1，1,0)，设平面 APC 的法向量为 n(x，y，z)，由nAPyz0，nACxy0得平面 APC 的一个法向量为 n(1，1,1)，设平面 DPC 的法向量为 m(x，y，z)，由mPCxz0，mDC xy0得平面 DPC 的一个法向量为 m(1,1,1)，cosm，n mn|m|n|13，二面角 A-PC-D 的平面角为钝角，二面角 A-PC-D 的余弦值为13.4(2017淄博模拟)如图，直线 PA 与平行四边形 ABCD 所在的平面垂直，PAABAD2，BAD60.(1)证明：BD平面 PAC；(2)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值解析：
8、(1)证明：ABAD，平行四边形 ABCD 是菱形，ACBD.PA平面 ABCD，PABD.又 PAACA，BD平面 PAC.(2)如图，过点 A 作 AMBC，交 CB 的延长线于点 M，连接 PM.过点 A 作 ANPM，垂足为 N.PA平面 ABCD，PABC.而 PAAMA，BC平面 PAM，BCAN.又 ANPM，PMBCM，AN平面 PMC.APN 就是直线 PA 与平面 PBC 所成的角在 RtABM 中，BAM90BAD30，AMABcosBAM2cos 30 3，在 RtPAM 中，PA2，PM PA2AM222 32 7，sinAPNAMPM 37 217.故直线 PA 与
9、平面 PBC 所成角的正弦值为 217.5(2017临沂模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB 3，BC4，E 是边 AD 上一点，且 AE3，把ABE 沿 BE 翻折，使得点 A 到 A满足平面 ABE 与平面BCDE 垂直(如图)(1)若点 P 在棱 AC 上，且 CP3PA，求证：DP平面 ABE；(2)求二面角 B-AE-D 的余弦值的大小解析：(1)证明：在图中，过 P 作 PQBC 交 AB 于点 Q.因为 CP3PA，所以PQBCAPAC14，因为 BC4，所以 PQ1，因为 DEBC，DE1，所以 DE 綊 PQ，所以四边形 QEDP 为平行四边形，所以 DPEQ.因为 DP平
10、面 ABE，EQ平面 ABE，所以 DP平面 ABE.(2)在图中，过 A作 AFBE 于点 F，因为平面 ABE平面 BCDE.所以 AF平面 BCDE.因为BAE90，AB 3，AE3，所以AEB30，AF32，EF3 32，过 F 作 FGDE 交 DE 的延长线于点 G，则 FG3 34，EG94.如图，建立空间直角坐标系，D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(4，3，0)，C(0，3，0)，A134，3 34，32，F134，3 34，0，则EA 94，3 34，32，EF94，3 34，0，DE(1,0,0)设平面 ABE 的法向量 n(x，y，z)，则nEF0，nEA 0，即9
11、4x3 34 y0，94x3 34 y32z0，可取 n(1，3，0)设平面 ADE 的法向量 m(x1，y1，z1)，则mDE 0，mEA 0，即x10，94x13 34 y132z10，可取 m(0,2，3)所以 cosm，n2 313 43 217.因为二面角 B-AE-D 为钝角，所以二面角 B-AE-D 的余弦值的大小为 217.6(2017石家庄模拟)如图所示，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB2，AA1 3，点 D 为 AC 的中点点 E 在线段 AA1 上(1)当 AEEA112 时，求证：EDBC1；(2)是否存在点 E，使二面角 D-BE-A 等于 60？若存在，
12、求 AE 的长；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：连接 DC1，因为 ABC-A1B1C1 为正三棱柱，所以ABC 为正三角形又因为 D 为 AC 的中点，所以 BDAC.又平面 ABC平面 ACC1A1，所以 BD平面 ACC1A1，所以 BDDE.因为 AEEA112，AB2，AA1 3，所以 AE 33，AD1.所以在 RtADE 中，ADE30.在 RtDCC1 中，C1DC60.所以EDC190，即 EDDC1.又 BDDC1D，所以 ED平面 BDC1.又因为 BC1平面 BDC1，所以 EDBC1.(2)假设存在点 E 满足条件设 AEh.取 A1C1 的中点 D1，连接 D
13、D1，则 DD1平面 ABC.所以 DD1AD，DD1BD.如图，分别以 DA，DB，DD1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系则 A(1,0,0)，B(0，3，0)，E(1,0，h)(0h 3)所以DB(0，3，0)，DE(1,0，h)，AB(1，3，0)，AE(0,0，h)设平面 DBE 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1DB 0，n1DE 0，即 3y10，x1hz10.令 z11，得 n1(h,0,1)同理，设平面 ABE 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，则n2AB0，n2AE0，即x2 3y20，hz20.得 n2(3，1,0)所以|cosn1，n2|3h|h212cos 6012.解得 h 22 3，故存在点 E 满足条件当 AE 22 时，二面角 D-BE-A 等于 60.微课视频 免费观看内容包括：整个专题重点内容