1、第3课时 空间中直线、平面的垂直A级基础巩固1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为u=(-2,0,-4),则()A.lB.lC.lD.l与相交但不垂直解析:因为u=-2a,所以au,所以l.答案:B2.两平面,的一个法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若,则y+z的值是()A.-3B.6C.-6D.-12解析:因为,所以uv=0,所以-6+y+z=0,即y+z=6.答案:B3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A解析:如图,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A
2、(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),E12,12,1,所以CE=12,-12,1,AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1).因为CEBD=(-1)12+(-1)-12+01=0,所以CEBD.因为CEAC0,CEA1D0,CEA1A0,所以CE与AC,A1D,A1A都不垂直.答案:B4.在空间直角坐标系中,已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若PAAB,PAAC,则点P的坐标为13,0,-23.解析:由题意可知
3、,AB=(-1,-1,1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z).由PAAB,PAAC,知PAAB=0,PAAC=0,即x-1-z=0,-2x-z=0,解得x=13,z=-23,所以P13,0,-23.5.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM平面BDF.证明:如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2,1),M22,22,1.所以AM=-22,-22,1,DF=(0, 2,1),BD=(2,-2,0).设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,则n
4、BD,nDF,所以2x-2y=0,2y+z=0,解得x=y,z=-2y.取y=1,则x=1,z=-2.所以n=(1,1,-2)是平面BDF的一个法向量.因为AM=-22,-22,1,所以n=-2AM,所以nAM,所以AM平面BDF.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P平面C1DE.解:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0,C1(0,1,1).所以A1B1=(0,1,0),DE=12
5、,1,0,DC1=(0,1,1).设P(0,1,a),则A1P=(-1,1,a-1).设平面A1B1P的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1A1B1=0,n1A1P=0,即y1=0,-x1+y1+(a-1)z1=0,所以x1=(a-1)z1,y1=0.取z1=1,则x1=a-1,y1=0.所以n1=(a-1,0,1)是平面A1B1P的一个法向量.设平面C1DE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2DE=0,n2DC1=0,即12x2+y2=0,y2+z2=0,所以x2=-2y2,z2=-y2.取y2=1,则x2=-2,z2=-1.所以n2=(-2,1,-1)是平面C1DE的一个法向
6、量.因为平面A1B1P平面C1DE,所以n1n2=0,即-2(a-1)-1=0,解得a=12.所以当P为CC1的中点时,平面A1B1P平面C1DE.B级拓展提高7.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),BP=(x-1,y,-3),若ABBC,且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.337,-157,4B.407,-157,4C.407,-2,4D.4,407,-15解析:因为ABBC,所以ABBC=0,即3+5-2z=0,解得z=4,所以BC=(3,1,4).因为BP平面ABC,所以BPAB,BPBC,所以(x-1)+5y+6=0,3(x-1)+y-12=0,解得x=407
7、,y=-157.答案:B8.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和点Q(cos x,-1,3),其中x0,若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为2或3.解析:因为OPOQ,所以OPOQ=0,即(2cos x+1)cos x+(2cos 2x+2)(-1)+03=0.所以cos x=0或cos x=12.因为x0,所以x=2或x=3.9.如图,已知四边形ABCD是矩形,AB=1,BC=a,PA平面ABCD,若在线段BC上只有一个点Q满足PQQD,则a的值等于2.解析:如图,建立空间直角坐标系,则D(0,a,0).设Q(1,x,0)(0xa),P(0,0,
8、z),则PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).由PQQD,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.由题意知关于x的方程x2-ax+1=0只有一解,所以=a2-4=0,解得a=2,这时x=1,x0,2.10.(浙江高考节选)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.求证:EFBC.证明:如图,连接A1E.因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC.因为平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以A1E平面ABC
9、.如图,以E为坐标原点,分别以过点E且垂直于AC的直线为x轴,射线EC,EA1为y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设AC=4,则E(0,0,0),A1(0,0,23),B(3,1,0),B1(3,3,23),C(0,2,0).所以F32,32,23,EF=32,32,23,BC=(-3,1,0).所以EFBC=0,所以EFBC.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且ADBC,ABC=PAD=90,侧面PAD底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD.(1)求证:CD平面PAC.(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE平面PCD?若存在,求出点E的位置,若不存在,请说
10、明理由.(1)证明:因为PAD=90,所以PAAD.因为侧面PAD底面ABCD,且侧面PAD底面ABCD=AD,所以PA底面ABCD.又因为BAD=90,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),所以APCD=0,ACCD=0,所以APCD,ACCD.又因为APAC=A,所以CD平面PAC.(2)解:侧棱PA上存在点E,使得BE平面PCD.由(
11、1)设E(0,0,t),则BE=(-1,0,t).易知CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1).设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则nCD=0,nPD=0,即-x+y=0,2y-z=0.取x=1,则y=1,z=2.所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).所以nBE=1(-1)+10+2t=0,解得t=12.所以当E为PA的中点时,BE平面PCD.C级挑战创新12.多选题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F两点分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1平行D.
12、EF与BD1异面解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),所以A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD1=(-1,-1,1),所以EF=-13BD1,A1DEF=0,ACEF=0,所以EFBD1,EFA1D,EFAC.答案:BC13.多空题如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE平面B1DE,建立空间直角坐标系(如图),则B1D=2a2,2a2,0,AE=a或2a.解析:由题意知B1(0,0,3a),C(0,2a,0),D2a2,2a2,3a.设E(2a,0,z)(0z3a),则CE=(2a,-2a,z),B1E=(2a,0,z-3a),B1D=2a2,2a2,0.由题意知CEB1D=a2-a2+0=0,CEB1E=2a2+0+z(z-3a)=0.由2a2+z2-3az=0,解得z=a或z=2a.故AE=a或2a.7
